Beste svaret
En spinor er bare en vektor som oppfører seg annerledes under rotasjoner og visse andre transformasjoner .
I stedet for å snakke generelt, tror jeg det blir mye lettere å tenke på spinorer når du har et konkret matematisk eksempel å jobbe med. Dette svaret kommer til å gjøre nettopp det. Det antas ingen matematisk kunnskap utover innledende lineær algebra.
En mer teknisk introduksjon finner du fra Steane «utmerkede introduksjonsoppgave om emnet, med en fyldigere behandling gitt her: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Alle illustrasjonene nedenfor er hans. Hvis jeg får noe galt, er du velkommen til å kommentere.
Hva Spinors er
Jeg sa ovenfor at spinorer var bare vektorer. Hva betyr det? Det betyr at de har alle egenskapene til vektorer:
- de kan legges sammen,
- ganget med en konstant (også kalt skalar ),
- det er noe som en «null» spinor,
- og hver spinor har en invers spinor.
Du kan gå fremover og legg til mer komplekse krav:
- To spinorer kan ha et veldefinert indre produkt, akkurat som vektorrom.
- En spinor kan ha en meningsfull lengde, akkurat som andre vektorrom.
og så videre.
Om bare krav for en spinor som gjør det forskjellig fra en vektor er at det å prøve å rotere den ikke gir deg det forventede resultatet – å prøve å rotere 360 grader gir deg ikke samme rotor, men roterende med 180 grader vil. Mer generelt krever rotasjon med en vinkel \ theta å bruke rotasjonsmatrisen for en vinkel \ theta / 2!
Med dette i tankene er her en enkel spinor som kan tenkes i vanlig tredimensjonalt euklidisk rom og som antar alle egenskapene jeg har oppført ovenfor. Dette er den enkleste spinoren, og den som vil være den mest kjente for fysikere.
Her er en perfekt gyldig matematisk beskrivelse av spinoren ovenfor:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Si hei til din første spinor!
Tenker på spinorer: en advarsel
Før jeg fortsetter, legger merke til noe: det euklidiske rommet, som jeg nevnte, er tredimensjonalt – men jeg trenger bare to komponenter for å representere min spinor! Hvordan kan dette være? Må ikke alle vektorene ha samme antall komponenter som dimensjonen til rommet de okkuperer?
Motsetningen kan løses i en setning: spinorer bor ikke i det euklidiske rommet – de kan tilsvare gjenstander i det euklidiske rommet, og ting som gjøres mot dem kan bringes til å samsvare med det som er gjort i det euklidiske rommet, men det er ikke deres hjem. p> Sannheten er at spinoren ikke har to komponenter som jeg sa ovenfor (på dette tidspunktet kaster du deg sannsynligvis til skjermen og sverger under pusten ). En spinor har ikke samme orientering som en vektor i det vektorrommet vi har satt den i – du kan modellere objekter i et vanlig vektorrom med den, som jeg har her, men en ekte spinor er definert av flere parametere enn for en vanlig vektor i et slikt rom.
Enkelt sagt , hvor orienteringen til en vanlig vektor bare ville være definert av r, \ theta, \ phi, er orienteringen til en spinor definert av r, \ theta, \ phi, \ alpha og dets tegn (antatt positivt i eksemplet ovenfor) – riktig sett kan et tredimensjonalt vektorrom være representert med et fir- dimensjonalt spinor (tegnet, siden det bare kan ta på seg to verdier, kan også betraktes som en dimensjon, men ville være ganske unødvendig).
Du kan skrive ut denne spinoren enten som en vektor med fire komponenter , en for hver parameter, multiplisert med et tegn – eller du kan bruke et triks, som Jeg har gjort, og later som at spinoren har komplekse komponenter, som gjør det mulig for oss å skrive det samme spinor med representasjonen ovenfor med to koordinater.Dette er grunnen til at spinoren min ser ut til å ha to komponenter, når den virkelig har fire parametere og den tilhørende dimensjonen som følger med den, i et tredimensjonalt vektorrom: fordi våre spinorer eksisterer i sitt eget komplekse rom, ikke i det tredimensjonale vektorrommet.
Så før jeg går videre, husk : spinorer trenger bare ha den samme romlige dimensjonen (dvs. parametrene som kreves for å spesifisere orienteringen i rommet), men de trenger ikke være de eneste parametrene som definerer den. I dette tilfellet behandler jeg komponentene i min spinor som komplekse verdier, og det er derfor jeg kan skrive det så kortfattet i en to-komponent kolonnevektor – men spinorer kan og har flere parametere, og det er derfor de er ganske vanskelige å jobbe med.
I det virkelige liv vil jeg sterkt anbefale å huske at spinorer ikke «t virkelig bor ved siden av oss – de er, som alle andre ting i fysikk, matematiske abstraksjoner som gjør livet lettere å jobbe med. Alt vi virkelig skjer med tredimensjonale objekter – men vi kan bruke spinorer til å modellere dem og gjøre matematikken finere, og det er derfor vi gjør det.
Til kjør dette punktet hjem, vurder følgende diagram:
Legg merke til hvordan tilstedeværelsen av flaggvinkelen kompliserer saker så enkle som rotasjon, og hva som er ortogonalitet. Det er en ekstra parameter , og det gjør hele forskjellen.
På grunn av problemene som presenteres av denne odde dimensjonaliteten til spinoren, kan du ikke bare bruke den vanlige rotasjonsmatrisen i to dimensjoner vi er mest kjent med, nemlig den allestedsnærværende \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} for alle vinkel. Dette ville være riktig for en todimensjonal vektor, men selv de enkleste spinorene er ikke , da jeg har gått langt for å påpeke, todimensjonal. Du kan heller ikke bruke de vanlige tredimensjonale matrisene – du kan absolutt oversette effekten av rotasjon til disse gutta, men det er ikke riktig å direkte multipliser en spinor med dem, fordi de ikke hører hjemme i samme rom.
Slik roterer du rotorer
En rotasjon om hver akse, blir da gitt av sin egen spesielle rotasjonsmatrise, definert i a helt annet rom der spinorer faktisk bor (i stedet for euklidisk rom). La oss betegne rotasjonsmatriser med vinkel \ theta i retninger x, y, z som R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Så ,
R\_ {x} = \ begynn {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} og jeg \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begynn {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} og 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Her er den morsomme delen: merker du hvordan alle disse rotasjonsmatriser bruker halvvinkelen \ frac {\ theta} {2} til å rotere etter vinkelen \ theta?
Det stemmer! Dette vinkelfordoblingsfenomenet er kjennetegnet på spinorer: du kan til og med bevise at å multiplisere en spinor med disse halvvinklede matrisene tilsvarer som roterer den romlige delen av full vinkel.
Og det «er bokstavelig talt det : alt du trenger å vite om spinorer – at de er vektorer som bor i sitt eget spesielle rom og har sine egne spesielle rotasjonsmatriser – dekket i ett Quora-svar. Jeg har selvfølgelig begrenset oppmerksomheten min til de enkleste spinorer der ute, men det essensielle funksjonene presenteres. Hvis du vil grave inn mer, kan du kontakte Steane (lenket ovenfor).
Hvorfor vi bryr oss om spinorer
Spinors har betydning fordi det viser seg at de er i stand til å beskrive hele spekteret av atferd forventet av subatomære partikler. Spesielt kommer partikler sammen med indre vinkelmoment, en egenskap vi kaller spinn (se Brian Bis svar på Innebærer spin av subatomære partikler faktisk vinkelmoment (dvs. er partikkelen faktisk * spinnende *)? for en fullstendig beskrivelse).Ved å modellere partikler som spinorer i stedet for vanlige vektorer, er vi i stand til å beskrive interaksjonen vi forventer av denne spinnet, samt gi en fullstendig beskrivelse av partikkeloppførsel – faktisk, spinorer danner grunnlaget for Dirac-ligningen, som erstatter Schrodinger-ligningen å gi en spesialrelativitetskompatibel bølgeligning og danner i sin tur grunnlaget for kvantefeltteori (utvidelsen av kvantemekanikken for å beskrive krefter).
Svar
Spinorer er geometriske objekter som eksisterer i å leve i reelle vektorrom (i motsetning til komplekse eller kvaternioniske vektorrom).
Så for å gå tilbake er en vektor et objekt som eksisterer i rommet og sies å peke i en gitt retning. Hva det betyr er at hvis du roterer aksene dine, endres komponentvektoren på samme måte.
Vektorer har den egenskapen at hvis du roterer dem 360 «, får du tilbake det samme objektet.
Det er en rekke geometriske objekter som kan konstrueres fra vektorer. For eksempel du kan ta to vektorer og multiplisere dem sammen for å få tensorer. Spesielt er treghetsmomentet en av dem. Tensorer har den egenskapen at hvis du roterer dem 360 «/ N, får du tilbake den samme gjenstanden, og hvis du roterer dem 360 «, kommer du alltid tilbake til det samme objektet.
I mellomrom som har en symmeturgruppe som er ortogonal (de som naturlig oppstår i reelle vektorrom), er det andre typer geometriske objekter som er ikke består av vektorer. En måte å se dette på er at hvis du roterer dem 360 «, får du ikke tilbake det samme objektet, i stedet for at du ender med -1 ganger det opprinnelige objektet – det peker i «motsatt retning.
Dette er rare gjenstander; imidlertid er disse objektene de som naturlig beskriver spinn 1/2 objekter i fysikk.
Disse objektene eksisterer på grunn av den merkelige egenskapen at den ortogonale symmeturgruppen er dobbelt forbundet. Det er en rik matematisk struktur her, men disse objektene er moralsk kvadratroten til en vektor – det vil si at hvis du multipliserer to spinorer sammen, får du en vektor, som når du multipliserer to vektorer sammen får du en andre rang tensor som for øyeblikket av treghetstensor.