Beste svaret
Det er to svar vi kan finne her for dette spørsmålet.
- -1/12
- Uendelig
Klart \ sum \ limit\_ {n \ i \ mathbb {R}} n avviker. Men hvorfor svarer noen på -1/12? Fordi begge er korrekte.
Dette er et av de enkleste eksemplene på et begrep som er avgjørende for forståelse av fysiske teorier, regulering. Tallet -1/12, tilsynelatende absurd, har en fysisk tolkning i den såkalte Casimir-energien.
Ofte når vi prøver å beregne fysiske størrelser i kvanteteorier, får vi uendelig. På det tidspunktet kan vi bare kaste svaret, men dette vil føre oss ingen steder. Alternativt kan vi prøve å gi mening ut av det. For å gjøre det prøver vi å hente et endelig svar fra uendelig. Denne prosessen kalles regularisering. Det kan være mange måter å systematisk regulere en divergerende serie (eller integrert), men det viktige poenget er at alle disse metodene vil gi det samme endelige resultatet. Spesielt vil summen ovenfor alltid gi oss -1/12. Dette i seg selv antyder at -1/12 ikke er helt absurd.
Den følgende diskusjonen er hovedsakelig avledet fra del 4.1 av Birrel og Davies – Quantum Fields in Curved Space. Jeg vil presentere kjernen i diskusjonen.
Anta at vi betrakter et masseløst skalarfelt i 2 dimensjoner (en tidsretning og ett rom). Et masseløst skalarfelt er veldig likt elektromagnetisk felt, men mye enklere. La oss også begrense det skalære feltet på en sirkel av omkrets L. Nå har vi definert et kvantesystem, og vi kan prøve å beregne forskjellige størrelser, inkludert minimums- / jordtilstandsenergi til dette systemet. Jordtilstandsenergien viser seg å være E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Nå kan vi regulere denne integralen og få E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Det viktige poenget er at dette er nøyaktig hva vi får hvis vi prøvde å beregne forskjellen mellom jordtilstandsenergi til dette systemet og et annet lignende system der skalarfeltet er begrenset på en linje med uendelig lengde (som i det vesentlige tar omkretsen av sirkelen for å være uendelig). Denne regulerte energien er tydeligvis en fysisk størrelse og kan faktisk måles i laboratoriet.
Vi konkluderer med at utsagnet \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 er ikke ugyldig.
Rediger:
Følgende er en måte vi kan regulere summen på.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ til 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Grensen ovenfor avviker, som forventet , men kan skrives som følger
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Slik henter vi en regulert endelig del fra den divergerende summeringen. Måten å regulere summen på er ikke unik, men den endelige delen av summen er alltid -1/12.
Svar
Hva mener vi med «er» eller «likestilling»? Det er spørsmålet som ligger til grunn for forvirringen om summen av alle naturlige tall.
Endelige summer
Vi don «t har et problem med endelige summer:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
er perfekt definert for hvilken som helst sekvens av a\_i \ i \ mathbb R. Takket være kommutativitet og assosiativitet i tillegg, er det ikke en gang rekkefølgen på a\_i: du kan blande rekkefølgen i en hvilken som helst permutasjon uten å påvirke resultatet.
Uendelig serie
Når vi kommer til uendelige sekvenser, (a\_i), hva betyr imidlertid den uendelige summen? Hva er det?
Den enkleste, sikreste og standard mening er en grense på endelige summer. Det er definisjonen av en uendelig sum er
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Når denne serien konvergerer helt , er alt greit og dandy. Du kan:
- stole på resultatet;
- blande rekkefølgen på vilkårene;
- legge til eller trekke fra to slike serier; og til og med
- bytt rekkefølgen på to nestede summeringer.
Men hvis serien er divergerende eller bare betinget konvergent verdien:
- kan ikke eksistere;
- kan avhenge av rekkefølgen; eller
- kan kreve «fancy metoder» for å definere
og du kan verken manipulere vilkårene for sekvensen eller legger til / trekker fra to slike sekvenser.
Slik er det med summen av de naturlige tallene der
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Dette avviker tydelig fra + \ infty som n \ til \ infty, så standardverdien eksisterer ikke. Og det er så langt som folk flest burde gå.
Fancy Methods
Hvis du ikke gjør det helt, selv intimt, forstå den presise betydningen av alt ovenfor du absolutt burde ikke gå videre til «fancy metoder». På samme måte bør du behandle alle som manipulerer ikke-absolutt konvergerende sekvenser som om de deler med null: resultatene er like pålitelige.
Det er en helt respektabel uendelig serie kalt Dirichlet Series :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Hvis (a\_n) er avgrenset, konvergerer denne serien absolutt for alle s \ in \ mathbb C hvis virkelige del er strengt større enn en, \ Re (s)> 1. For \ Re (s) \ leq1 er vi på mindre solid grunn …
Analytisk fortsettelse
Siden f ( s) er en analytisk funksjon definert på det åpne halvplanet med \ Re (s)> 1, den har en i hovedsak unik analytisk fortsettelse til resten av det komplekse planet. Fortsettelsen når alle a\_n er ett, f\_1 (s), er Riemann Zeta-funksjon :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
hvor \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x er Gamma-funksjonen , en analytisk utvidelse av faktorfunksjonen.
For \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb konvergerer ikke
Hvis du nå vil gjøre noe som heter regulering av zeta-funksjon , kunne hevde
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
men vær oppmerksom på at du fikler med hva «likhet» betyr og hva en summering «er».
Det er helt greit, men hvis du har kommet så langt, vil du ha lagt merke til hvor mye du trenger å vet å forstå hva du gjør. Mye mer enn du vanligvis får med en Numberphile-video …