Beste svaret
«Summen av alle reelle tall» er ikke definert i konvensjonell matematikk, og jeg er ikke sikker at det kunne defineres uten å forårsake alvorlige problemer.
Det første problemet er at settet med alle reelle tall er et utellelig antall, dvs. at det ikke kan settes i en en-til-en-forbindelse med tellingen tall (dvs. 1, 2, 3, 4 osv.) Det er ikke en konvensjonell definisjon av summen av medlemmene i et utellelig sett, men det er av summen av medlemmene i noen tellbare sett.
Anta at du har et tellbart sett {x1, x2, x3,…. xn,…}. Du kan definere en delsum Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, dvs. summen av de første n-begrepene. For å sikre at ingenting går galt hvis du omorganiserer settet, kan du definere en positiv delsum Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Hvis grensen (når n går til uendelighet) av serien Pn, eksisterer også grensen for serien Sn (men er ikke den samme som grensen for Pn, med mindre alle xn er ikke-negative). Det betyr at du kan si at summen av alle tallene i vårt tellbare sett er grensen for serien Sn.
Så hvis settet er {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, du har en pent konvergerende serie, og summen av medlemmene i settet er 1. Hvis du har alle heltallene (positive negative annonser), har du et tellbart sett {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, men delsummene konvergerer ikke – de er 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Den manglende konvergensen av heltallene oppstår til tross for at hvert positive heltall n har et tilsvarende negativt heltall, så du skulle tro at de avbryter. Imidlertid kansellerer de ikke ved hver alternative delsum, og de vil ikke kansellere hvis du tar settet i en annen rekkefølge, f.eks. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2, …}.
De reelle tallene er dårligere fordi det ikke er en definisjon av summen av settet, gitt at det er utellelig, og selv om det var en, ville det å endre rekkefølgen du tok dem gi et annet resultat, selv om det for hvert positive reelle tall er et tilsvarende negativt reelt tall.
Svar
La oss løse det med gruppeteori.
La G (\ mathbb {R}, +) være en gruppe.
Den har additiv identitet dvs. 0 og additiv invers \ for all a \ i G, er -a.
Nå legger vi til alle elementene i denne gruppen, vi har par av et tall og det er invers som avbryter hverandre.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ i G ^ +} + \ sum\_ {a \ i G ^ -} + 0, Vi kan skrive dette på grunn av kommutativ og assosiativ egenskap til denne spesialgruppe.
Vi delte settet \ mathbb {R} i \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} og identitetselement.
La oss skrive ovennevnte uttrykk som
= X + Y + 0
Som 0 er identitet,
over uttrykk gir
= X + Y
Nå, \ for alle a \ i X, a ^ {- 1} \ in Y
\ innebærer X = Y ^ {- 1}
\ innebærer Y = -X
\ innebærer X + Y = identitetselement av G = 0.
Derfor er summen av alle reelle tall null.