Beste svaret
Anta at det er en sirkel med fem like lange punkter A, B, C, D og E på omkretsen slik at buen ABCDEA fullfører sirkelen.
Så det er fem like buer (AB, BC, CD, DE og EA), hver utover en vinkel {(360⁰) / 5) = 72⁰ i midten.
Nå er stjerne vinkelen i toppunkt A ingenting annet enn vinkelen som er neddypet av bue-CD i punkt A; som er {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Så, summen av fem «stjernevinkler» på fem hjørner = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Svar
Dette problemet avhenger av hvordan du definerer en «stjerne». Men uansett, la oss begynne med enkle tilfeller, så skal den generelle formelen vise seg.
Hvis det er 3 poeng, kan vi bare ha en ensidig trekant, så vinkelen er 60 grader. (Jeg inkluderer dette som stjerne også, definer stjernen min senere).
Hvis det er 4 punkter, kan vi bare ha en firkant, så vinkelen er 90 grader.
Hvis det er 5 poeng , kan vi ha en femkant, der vinkelen er 108 grader, eller vi kan ha en «stjerne» i spørsmålet, der vinkelen er 36 grader.
Generelt for n poeng kan vi dele en sirkel i n like bueseksjoner. For 3 og 4-punkts tilfeller er den eneste måten du kan tegne en «perfekt symmetrisk lukket sløyfe» (stjernedefinisjonen) ved å koble punkter til de tilstøtende punktene, i så fall trinnene deres (antall kryssbuer i en linjesnitt) k er 1. To sammenhengende linjer vil danne en vinkel, så formelen for denne typen «stjerne» (ensidig trekant, firkant, femkant, sekskant osv.) er 180 * (n-2 * 1) / n grader.
I 3, 4 poeng ca. se, det er ingen annen løsning enn trinn 1. I 5 punkts tilfelle, foruten trinnet 1, vil et trinn på 2 danne 36 graders stjerne. Så når trinn k er relativt prime til punktene n, kan vi ha vinkelformelen
180 * (n-2 * k) / n grader.
Så i 6 poeng , den eneste løsningen er k = 1, så vinkelen er 120 grader.
I 7-punkts tilfelle kan k være 1, 2 eller 3, når k = 1 er vinkelen 900/7 grader; når k = 2 er vinkelen 540/7 grader; når k = 3 er vinkelen 180/7 grader.
I 8-punkts tilfelle kan k være 1 eller 3, når k = 1 er vinkelen 135 grader; når k = 3 er vinkelen 45 grader.