Beste svaret
Som mange allerede har svart riktig, har uendelig cosinus ingen verdi. Men det er verre. Det er så ille som det muligens kan være.
Komplekse funksjoner
De trigonometriske funksjonene, inkludert cosinus, er vanligvis sett på som funksjoner som tar reelle tall som argumenter, men de kan utvides til å være komplekse funksjoner. Du kan gjøre dette for cosinus ved å bruke denne kraftseriedefinisjonen
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Det gjør cosinus definert på hele kompleksplanet \ mathbf C.
By utvide funksjoner til komplekse argumenter, kan du forstå dem på måter du ikke kan når bare virkelige argumenter brukes. Det er styrken i kompleks analyse.
De utvidede komplekse tallene \ overline {\ mathbf C}
Vurder mye enklere funksjon f (z) = 1 / z. Den er definert for alle komplekse tall unntatt z = 0. Det ser ut til å ha en uendelig verdi på z = 0, og det er en måte å formalisere dette konseptet på. Utvid de komplekse tallene med ett element, betegnet \ infty for å få det som noen ganger kalles det lukkede komplekse planet eller Riemann-sfæren, \ overline {\ mathbf C}. Med det kan du definere 1/0 = \ infty og 1 / \ infty = 0 slik at denne funksjonen f (z) = 1 / z er definert på hele \ overline {\ mathbf C}. Faktisk gir det en sammenheng \ overline {\ mathbf C} \ til \ overline {\ mathbf C}.
Hva skjer når du prøver dette med tangensfunksjonen \ tan z? Noen fine ting skjer. Mens for reelle tall er \ tan \ pi / 2 ikke definert, for \ overline {\ mathbf C} er det definert, og faktisk \ tan \ pi / 2 = \ infty. Singulariteten for \ tan z at z = \ pi / 2 er som singulariteten for 1 / z ved z = 0.
Disse to funksjonene, 1 / z og \ tan z, har stolper , det vil si at de tar på seg verdien \ infty. Funksjonen 1 / z har en pol ved z = 0. Funksjonen \ tan z har uendelig mange poler, en for hver verdi av z lik \ pi / 2 pluss et integrert multiplum av \ pi.
Cosine av \ infty
Det er på tide å komme tilbake til \ cos \ infty.
Tenk på funksjonen f (z) = \ cos (1 / z). Å be om cosinus \ infty er det samme som å be om f (0), siden i \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. I motsetning til polene for funksjonene 1 / z og \ tan z nevnt ovenfor, har denne funksjonen det som kalles en essensiell singularitet. Vilkårlig nær z = 0, funksjonen f (z) = \ cos (1 / z) tar på seg alle komplekse tall uendelig mange ganger. Det betyr at \ cos z har en essensiell singularitet ved z = \ infty. Det er så ille som det muligens kan være.
Svar
Det tilsvarer ingenting. Cos (uendelig) er ubestemt fordi sinus cosinus og tangens, så vel som den inverterer (secant, cosecant og cotangent), er avledet fra enhetssirkelen.
cosinus er x-aksen, og sinus er y-aksen. Dette skaper en riktig trekant. Enhetssirkelen er sentrert på opprinnelsen. Og den rette trekanten som er «skapt», lengden på bena er der de er avledet.
For ting som 390 grader beveger den seg mer enn en gang, og vinkelen blir vurdert som om den bare gikk fra 0 grader til der det endte, som er mindre enn 360. Dette er i utgangspunktet bare modul.
Uttrykket som kan representere dette er n mod 360 (eller for informatikk, n\% 360), hvor n er vinkelen.
Så for infinity mod 360, kan ikke ha svar fordi uendelig stadig stiger. så det kan teknisk sett være hva som helst. Uendelig er ikke tall, det er et konsept. Konseptet med å ikke ha noen slutt. Så å bruke uendelig som et tall er bare å ha en verdi som på en måte alltid øker. Dette forenkler det litt siden det ikke virkelig stiger, det er mer som å anta at det er en slutt når det ikke er, listen over tall har ingen slutt. Verdien er ubegrenset. Dette er grunnen til at vi bruker grenser når vi arbeider med uendelig. Selv om uendelig som et tall i utgangspunktet bruker grenser, kan vi ikke si at 1 / uendelig er null siden uendelig bare øker konstant i verdi, men det spør ikke hva det konvergerer til. Selv om den konvergerer til null, vil den aldri være null. Det nærmeste det noensinne vil være null er, 1 – 0,999…., Som selv om 0,999… har blitt sagt å være lik 1, er det ikke. Logisk er det ikke, og det kan det ikke være. Hvis vi aksepterer det, kan vi like gjerne si at 1 = 2, og hvilken som helst n er lik hvilken som helst m (n = m).
Tilbake til det opprinnelige spørsmålet, hvis du ser på en graf for cos (x), vil du se at den oscillerer seg kontinuerlig opp og ned fra 1 til -1. Så når det går til uendelig, vil det aldri konvergere, og cos (uendelig) vil alltid bytte mellom 1 og -1. Å velge hvilken som helst verdi mellom disse, vil ikke være uendelig, da den alltid vokser i verdi.
Så, til slutt, cos (uendelig) er ubestemt.