Beste svaret
Vi kan nærme oss dette geometrisk. Det er tre løsninger, de er: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° og 1 / \_240 ° i polar form. Vi må vurdere domenet til komplekse tall. (for øyeblikket klarer jeg ikke å gi diagrammer, så jeg beklager). Å bruke penn og papir mens du leser dette svaret, vil være veldig nyttig.
Merk: “/ \_” representerer “vinkel”. Vinkelen måles mot klokken i forhold til den positive reelle aksen (positiv x-aksen). Dessuten er 0 ° det samme som 360 °, 720 ° og så videre. Enhver vinkel θ er den samme som θ + 360 °.
Geometrisk, hvis vi representerer 1 på et komplekst plan som 1 + 0i (1,0); dette er lik 1 / \_ 0 ° eller 1 / \_360 ° i polar form. Vi kunne tegne en enhetssirkel med sentrum ved opprinnelse 0,0. Ved å dele enhetssirkelen på 360 ° (eller 2π radianer) i 3 like store deler, får vi de tre nødvendige røttene.
Den første roten ved 1 / \_0 ° eller / \_360 °. [Hvis jeg gjør 3 komplette omdreininger (360 °) fra (1,0) mot klokken (multipliseres med seg selv tre ganger eller med terning), kommer jeg til samme punkt: 1 / \_0 °. Merk også: Hvis jeg gjør 3 “ingen omdreininger” (0 °). Jeg kommer også til det samme punktet!]
For de to andre røttene:
- Fra 1 / \_0 °, hvis jeg lager 1/3 (en tredjedel eller 120 °) revolusjon mot klokken (en ganget med 1 / \_120 °), kommer jeg til 1 / \_120 ° som er den andre roten. Hvis jeg lager to 1/3 omdreininger derfra, kommer jeg til 1 / \_360 ° dvs. 1 / \_ 0 ° igjen. (så jeg gjorde tre 1/3 eller 120 ° omdreininger, eller jeg utførte kuber). Derfor er kuben på 1 / \_120 ° også 1.
- Fra 1 / \_0 °, hvis jeg lager 2/3 (240 °) omdreining, kommer jeg til 1 / \_240 ° som er tredje rot, hvis jeg lager en 2/3 til revolusjon, kommer jeg til 1 / \_480 ° dvs. 1 / \_120 ° og med fortsatt en 2/3 omdreining, kommer jeg til 1 / \_720 ° dvs. tilbake til 1 / \_0 °. så jeg gjorde tre 2/3 eller 240 ° omdreininger, eller jeg utførte kubering). Derfor er kuben 1 / \_240 ° også 1.
Røttene er 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. atskilt med 120 ° likt på enhetssirkelen.
Du kan konvertere verdiene til rektangulær form og se at svarene er de samme som de som er gitt av andre.
Generelt for å oppnå nth rot deler vi enhetssirkelen i n like deler, eller like store vinkler på 360 / n °, og røttene ligger på sirkelens ytre grense. Så siden 360/5 = 72 °, er enhetens femte røtter: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Svar
La z slik z ^ 3 = 1
nøkkeltrinnet, ikke ta terningroten på begge sider, ellers vil du savne to røtter. Omskriv likningen som:
z ^ 3–1 = 0
faktor venstre side
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 har to komplekse røtter:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)