Beste svaret
T\_n (x), den nde Chebyshev Polynom av den første typen, tilfredsstiller
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Vi er ute etter T\_ {10} (x). Vi kjenner de første:
T\_0 (x) = 1 \ quad fordi \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad fordi \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad fordi \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad fordi \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Vi kan enkelt beregne kreftene til to,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Generelt T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) som følger ganske raskt fra \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) tilfredsstiller gjentakelsen
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Siden T\_0 (x) og T\_1 (x) har heltallskoeffisienter, forteller gjentakelsen oss at alle T\_n (x) har heltallskoeffisienter.
La oss utlede gjentakelsen . Vi starter med å bevise en trig identitet, en alternativ sumvinkelformel som bare bruker cosinus:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nå,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
eller la x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nå kan vi beregne T\_ {10} (x) ganske enkelt,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Så vi får endelig svaret vårt,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Svar
La x = theta for å gjøre det lettere å skrive.
Husk at multiplikasjon er gjentatt d tillegg.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
En måte å finne cos (10x) er å bruke identitet for cosinus av summen av to vinkler 9 ganger, sammen med den samme identiteten for sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Erstatt 9x med 8x + x
, og bruk deretter identitetene forsiktig igjen uten å miste cos (x) og sin (x) som allerede er i problemet. p>
Så overalt 8x, erstatt den med 7x + x, og bruk identitetene igjen.
Fortsett … ..
Det kan være lurt å jobbe deg oppover i stedet for ned.
Finn cos (3x), deretter cos (4x) osv.
Mens du jobber, spør deg selv om det kan være en raskere måte.
Når vi har en formel for
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
du kan prøve å tenke
på cos (4x) som cos (2x + 2x)
og cos (8x ) som cos (4x + 4x).
Så cos (10x) som cos (8x) + cos (2x).
Du migh t ønsker også å forenkle resultatet for cos (2x), og muligens bruke en pythagorasisk identitet for å holde problemet i form av bare cosinus uten noen sines i resultatet.