Beste svaret
Jeg vet hva du ber om, men vær så snill å lære skrivekonvensjonene. Det skal skrives cos (1/2).
For å svare på spørsmålet ditt, må du bruke en kalkulator her. Det er ingen måte jeg kan beregne dette for hånd. En annen ting er verdien i radian eller grader. Jeg vil gi begge deler her. Det er 0,99996 i grader og 0,8775 i radianer.
Svar
Ganske mange blir opprørt når noen hevder at 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Jeg er ikke en av disse menneskene, men jeg gjør tror at hvis du begynner å gjøre et krav som dette, bør du ha det veldig klart i tankene dine hva det er som du mener.
Vanligvis, når du definerer en uendelig sum av elementer a\_n, definerer du den som:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Hvis grensen eksisterer og har en endelig verdi, sier vi at den uendelige summen konvergerer , og vi sier at det er lik nevnte grense. Dermed, for eksempel:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Det er imidlertid mange uendelige summer som avviker , og vi tildeler vanligvis ikke disse en verdi. av dette:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {eksisterer ikke.}
Man kan også sjekk at:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
som ikke konvergerer — dermed er serien 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots er divergerende, og så tildeler den vanlige grensedefinisjonen den ikke en verdi.
Det er imidlertid måter du kan utvide denne definisjonen. Det vil si at du kan komme opp med måter å tilordne en endelig verdi til divergerende serier som fremdeles stemmer overens med verdiene vi får på vanlig måte for konvergente serier.
Problemet er at siden disse metodene, ved deres natur, tilsvarer egentlig ikke noe fysisk *, så det beste vi kan håpe er at slike metoder har fine formelle egenskaper. Spesielt vil vi be om at de tilfredsstiller følgende aksiomer:
1.) (Regularity) Hvis \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n er konvergent, stemmer summeringsmetoden med vanlig metode for å ta grensen.
2.) (Linearitet) Hvis \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A og \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B er summerbare , så har vi \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Hvis r er et reelt tall, så \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilitet) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Disse aksiomene er ganske nyttige. For eksempel viser du at noen summeringsmetoder som tilfredsstiller disse tre aksiomene, må evaluere 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, siden:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Legg merke til at både linearitet og stabilitet spiller en viktig rolle i dette beviset. Stabilitet tillater oss å «trekke ut» 1 foran, og linearitet lar oss faktorere ut 2.
Enhver slik summeringsmetode må også evaluere 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Beviset er likt:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Imidlertid vil det være divergerende serier som ikke kan evalueres med noen summeringsmetode som tilfredsstiller disse tre aksiomene. Anta for eksempel at vi kunne tildele en endelig verdi s til serien 1 + 1 + 1 + \ ldots. Da ville vi ha:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Ups. Dessverre blir det enda verre, fordi det følger av dette at ingen summeringsmetode som tilfredsstiller disse tre aksiomene, kan evaluere 1 + 2 + 3 + \ ldots heller, siden:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (etter stabilitet) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (etter linearitet)
Så hvis du vil definere en summeringsmetode som evaluerer 1 + 2 + 3 + \ ldots, må du enten kaste ut linearitet eller stabilitet. Det er forskjellige tilnærminger — noen ofrer den ene, andre ofrer den andre.
Dette er dessverre en indikasjon på hvordan summering av divergerende serier går: du har mange forskjellige metoder for å summere dem, og de gjør ikke alltid enig. De er ofte enige om viktige serier, men hvis du hevder noe som 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, bør du gjøre det helt klart hvilken summeringsmetode du tilfeldigvis bruker.
Som tallteoretiker er min favoritttilnærming regulering av zeta-funksjoner. Det grunnleggende eksemplet på dette er dette: vurder Riemann zeta-funksjonen \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Denne formelen er bare konvergent hvis den virkelige delen av s er større enn 1.Det er imidlertid en standard måte å utvide Riemann zeta-funksjonen til å være en funksjon på hele det komplekse planet (vel, du har noen poler, men selv om det er viktig, er det et teknisk problem) — dette kalles analytisk fortsettelse, som du får eksplisitt ved å finne en funksjonell ligning for zeta-funksjonen.
Ved å bruke analytisk fortsettelse finner du at \ zeta (-1) = -1/12. Men hvis du «kobler det» til det opprinnelige uttrykket for zeta-funksjonen, får du:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Slik fungerer zeta-funksjonens regulering: du knytter en zeta-funksjon til serien din , og bruk deretter analytisk fortsettelse for å knytte en endelig verdi til serien.
Dette er på mange måter et formelt spill som, selv om det er interessant, sannsynligvis ikke bør tenkes å svare til noe håndgripelig.
* Ja, jeg er klar over at divergerende serier og integraler blir brukt i beregninger i kvantefeltteori. Imidlertid vil jeg hevde at slike metoder er et beregningsverktøy mer enn en fysisk tolkning av hva som faktisk foregår. Dessuten har vi ikke på dette tidspunktet en matematisk streng modell av kvantefeltteori, så eventuelle rare kimærer som ikke burde være, kan ennå tolkes på nytt eller fjernes helt.