Beste svaret
Spørsmålet du stiller gir ikke mening. Jeg antar at det er cos (20 °).
Vi vet hva som er cos (60 °) og det gode er 60 ° = 3 * 20 °.
Vi vet cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Sett θ = 20 °, i identiteten ovenfor og forutsatt at t = cos (20 °) fikk vi
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
La p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 og p (1) = 1, det antyder at p har tre virkelige røtter hvorav bare en er positiv (som ligger mellom 0 og 1).
Som vi vet er cos (20 °) et positivt tall, så er den positive roten til polynomet ovenfor verdien av cos (20 °).
Noen estimeringer ved å bruke halveringsmetoden med 2–3 iterasjon vil gi deg 0,94.
Så cos (20 °) = 0,94 (ca.)
Svar
Du bør kunne finne den ved hjelp av trig-identiteten: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Jeg antar at dette er avledet fra identiteten: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), men brukt to ganger. For å være ærlig så slo jeg bare opp. )
Nå som vi vet dette, lager du x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Gjør deretter to bytter. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} og y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Og så med litt manipulasjon:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Alt som gjenstår er å løse for y. Å løse kubikk for hånd er en smerte , men jeg vil peke deg her: Hvordan kan jeg løse en ligning av tredje grad? Så vil jeg bøye hendene litt rundt og løse det her: Computational Knowledge Engine
Du får 3 løsninger. Ett negativt (ikke riktig) de to andre er omtrent .34 og .64.
Hvilken er det? sin (30) = .5, og fordi vi vet at sinusfunksjonen øker opp til 90 grader, er løsningen omtrent 0,34.
Så, hva er den eksakte løsningen? I følge Wolfram Alpha:
Dette skal gi et reelt tall, men jeg er ikke i ferd med å forenkle det rotet for deg .
Det er nok å si at det kan gjøres, men det er ikke overraskende en enorm hodepine.