Beste svaret
På enhetssirkelen er x-koordinaten cos (x).
Ta grensen når x nærmer seg 90 grader. Det du ser er at x-koordinaten nærmer seg 0 fordi radien nærmer seg en vinkelrett linje (så ingen x-komponent)
Ta den venstre grensen og den er den samme.
Trekanten bryter selvfølgelig ned.
Her er et bilde for hjelp:
Som du ser blir den grå linjen (cosx) mindre og mindre.
Det er det. Cos (90) er 0. Det er 90 som er grader og ikke radianer.
Hvis det er i radianer, er det noe som −0.448073616129.
Svar
La meg gi deg et mer kompleks svar.
La, \ frac {A} {2} = x.
Så, A = 2x
Vi har,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
La oss ta formularen til Eulers,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Hvis vi husker denne formelen, kan vi forstå det,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), da bare \ sin er en merkelig funksjon, f (-x) = – f ( x), og \ cos er jevn, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Så, vi ender opp med formelen.
Også for \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Hvor jeg er den imaginære enheten . (i ^ 2 = -1)
La oss nå utenat formelen for \ cos (2x), (ved plugin på x med 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
La oss begynne å utlede formelen vår.
Starter med \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Vi utvider oss,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nå, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ ganger a ^ c = a ^ {b + c},
(Så, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Nå kan vi beregne \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Hvis vi trekker \ sin ^ 2 (\ theta) fra \ cos ^ 2 (\ theta), får vi,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Vi avbryter minusene, i nevneren av \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Når vi legger til, kan vi avbryte -2 + 2 til 0, etter det får vi,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
som er den samme formelen for \ cos (2x) som vi diskuterte tidligere. Derfor bevist.
Men vi har en annen ting å gjøre. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
som har samme formel for cos (A)
Så, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Takk for A2A