Beste svaret
Det er fristende å skrive
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Så kan vi skrive
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Det gjør summen:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Jeg liker ikke dette så mye i et par grunner. Først ignorerer det spørsmålet om hvor mange verdier \ sqrt {i} har.
Vi har definert radikalen som brukes på et reelt tall som hovedverdien, så y = \ sqrt {x} er en funksjon . Hovedverdien til en kompleks kvadratrot er mer kompleks (en regel som minst ikke-negativ vinkel) og fungerer ikke så bra.
Min oppfatning er den beste policyen er å si at vi har to kvadratrøtter . \ sqrt {i} er flerverdi, det samme som i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Det andre problemet jeg har med den eksponensielle formuleringen er det umiddelbare hoppet til polarkoordinater. Vi tar automatisk en kronglete rute som involverer transcendentale funksjoner og deres inverser. Kvadratroten til et komplekst tall krever ikke det. Vi kan sjekke
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
der vi trenger en ikke-standard \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Vi har a = 0, b = 1 altså
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Ingen trig-funksjoner er nødvendige. Tilsvarende gir a = 0, b = -1
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Summen ser ut til å ha fire mulige verdier:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
La oss regne ut verdiene til parentes.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
så vi har faktisk fire verdier, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Vi kan skrive dette som
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
Det er ett annet problem å vurdere. Noen ganger når vi skriver uttrykk som ser ut til å være konjugater, menes det at når flere verdier vurderes, opprettholdes konjugatforholdet. Et eksempel er deprimert kubikk:
x ^ 3 + 3px = 2q har løsninger
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Hver av disse terningrøttene har tre verdier over de komplekse tallene. Men selve kubikken har bare tre løsninger. Så selv om vi kanskje blir fristet til å tolke dette uttrykket som ni forskjellige verdier, vet vi at det bare er ment å være tre. De to terningrøttene er ment å være konjugater, så må parres som sådan.
I denne tolkningen legger vi alltid til konjugater, slik at vi får bare de virkelige løsningene:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} eller (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } som er \ pm \ sqrt {2}.
Til slutt, hvis vi tolker radikalen som hovedverdi, får vi \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} i første kvadrant, og vi må velge mellom andre og fjerde kvadrant for hovedverdien av \ sqrt {-i}. «Minst positiv vinkel» -regelen antyder den andre kvadranten, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} så
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Litt rot, alle disse forskjellige tolkningene.
Svar
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega er den tredje roten til enheten: z ^ 3 = 1.
Røttene til denne ligningen er: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Vi har: u ^ 3 = 2 + 2i og (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Så:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
Så:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Vi får:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ tekst {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ tekst {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3