Beste svaret
Hvis vi ikke vil bruke de trigonometriske tabellene, kan vi få en omtrentlig verdi på \ tan 27 ^ o ved å bruke Taylor-utvidelsen av \ tan x.
Taylor-serien til en reell eller kompleks verdsatt funksjon f (x), som er uendelig differensierbar ved et reelt eller komplekst tall a, er gitt av
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, hvor f ^ {(n)} (a) er verdien av n ^ {th} -derivatet ved x = a.
Merk at vinkelen må uttrykkes i radianer.
La f (x) = \ tan x og a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianer.
\ Rightarrow \ qquad f «(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, og,
\ qquad f «» (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Vi vil ha verdien av \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Da bruker vi bare de to første begrepene i Taylor-serien, ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f «(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Feilen i denne verdien er -0.3902 \\%.
Bruker bare de tre første begrepene av Taylor-serien, får vi,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f «(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f «» (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Feilen i denne verdien er -0.1831 \\%.
Hvis vi ønsker større nøyaktighet, kan vi bruke flere termer.