Beste svaret
Det gis at
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ ganger x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nå er verdien på x ^ 2 vil være – \ omega og – \ omega ^ 2
Hvor
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Og
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
La oss ta x ^ 2 vil være – \ omega
Nå er gitt uttrykk \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Husk nå at \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Så
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Så svaret er 0
============================================= ================== ===
Likte du svaret mitt? Vil du lese mer skriving som ting du likte ovenfor? Følg meg og stem opp dette svaret.
Svar
Dette problemet er ganske mye enklere enn det ser ut til å begynne med, og det er en leksjon i hvor nyttig det kan være å lete etter – og deretter å utnytte – symmetri. Problemet krever ingen beregning å løse, men hvis du kjenner noen beregning, fungerer den tilnærmingen veldig bra. Nøkkelen til en løsning uten beregning er å observere at hvis den samme verdien minimerer g (x) og h (x), minimerer den også g (x) + h (x). Ser du hvorfor dette stemmer?
Hvordan kan vi bruke den ideen på dette problemet?
Vurder g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Denne funksjonen er symmetrisk om x = 3,5 – halvveis mellom +3 og +4-verdiene som legges til x – siden vi kan skrive det som g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3.5) +0.5) ^ 4. La y = x + 3,5, innebærer denne symmetrien at g (y) må være et jevnt polynom, og derfor inneholder det termer med bare jevne krefter på y. Siden det er et jevnt polynom, forteller binomialsetningen oss at alle koeffisientene må være positive. (Faktisk er det g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, men vi trenger ikke engang å finne disse tre begrepene eksplisitt for å fullføre argumentet.) Siden y = 0 minimerer tydelig hver av summandene av g (y) individuelt siden hver er en jevn kraft av y med positiv koeffisient, antyder vår første observasjon at y = 0 også må minimere g. Så vi har oppdaget at x = -3,5 er den unike minimiseringen av g (x).
Tenk deretter på h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Denne funksjonen er litt enklere enn g da den er kvadratisk, og et nesten identisk argument antyder at x = 3.5 også er den unike minimiseringen av h (x). Utnytt symmetrien til å skrive den som h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Legg merke til at h (y) er et jevnt polynom (har derfor bare jevne krefter av y), og bruk binomialsetningen til å konkludere med at den bare har positive koeffisienter. Faktisk er h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, men igjen, vi trenger ikke å finne det eksplisitt. Siden y = 0 minimerer alle termer som er lagt til for å produsere h (y), vet vi at y = 0 minimerer h (y), og vi konkluderer med at x = -3,5 er den unike minimiseringen av h (x).
Til slutt, siden x = -3,5 er den unike minimisatoren for både g (x) og h (x), er den den unike minimiseringen av summen deres, og problemet er løst.