Beste svaret
La oss telle forekomsten av tallet 2 først i 1 til 10. Det er bare 1 der, nemlig for tallet 2.
Deretter tar du de neste ti tallene og teller forekomsten av sifferet 2 i dem, og vi får 2, nemlig i tallene 12 og 20.
På samme måte forekommer det 10 ganger i tallene 21 til 30, som det forekommer to ganger i 22.
Fortsetter vi på samme måte for de følgende tallene opp til og inkluderer 120, vi finn ut at den eksisterer en gang hvert ti tall pluss en gang til, totalt 10.
Mellom 121 og 130 forekommer det igjen 10 ganger, da det igjen forekommer to ganger i 122.
Fra 131 til 190 kommer tallet 2 en gang hver 10 tall, totalt 6.
Og i de ti siste tallene (191-200) forekommer det to ganger.
Legger alle forekomster sammen vi finner sifferet 2 forekommer 41 ganger, nemlig i tallene 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 og 200.
Svar
Jeg viser deg to regler, det kan være mange.
Mellom dem er den første lett og den andre er mer matematisk og vitenskapelig:
Prosess 1:
Hvis vi gjør n ^ 5, kommer alltid det siste sifferet i resultatet som det siste sifferet i n.
Nå, hvis vi legger til (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Det siste sifferet kommer som det siste sifferet i tillegget (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Nå,
Det siste sifferet i tillegget (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Det siste sifferet i \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Det siste sifferet i \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Så, det siste sifferet i tillegget,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) vil være Null.
Prosess 2:
Vi vet at,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Så for (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Svaret blir,
161708332500
Så, det siste sifferet er null .
PS: Vi vet at 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a er skrevet matematisk som \ Sigma n ^ a. Den generelle formelen for kraftsummen er kjent som Faulhabers formel (også kjent som Bernoullis formel):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ understrekning {k-1} n ^ {p-k + 1}
hvor, \ textbf {p} ^ \ understrek {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} kalles en fallende faktor og B\_ {k} er Bernoulli-tallene.
Ved å bruke den formelen kan vi utlede en hvilken som helst spesifikk formel for kraft sum, som det er gitt nedenfor:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Takk for at du leser svaret mitt. Håper dette hjelper.