Beste svaret
Hvis jeg prøver å koble dette til kalkulatoren min, vil jeg få noe i vitenskapelig notasjon, fordi svaret er for stort til at kalkulatoren kan vises. I praksis vil kalkulatoren vise meg begynnelsen på tallet, og jeg bryr meg bare om slutten på tallet.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Jeg vet at et tall får null på slutten av det hvis tallet har 10 som faktor. For eksempel er 10 en faktor på 50, 120 og 1234567890. Så jeg må finne ut hvordan 10 når som helst er en faktor i utvidelsen på 200 !.
Men siden 5 × 2 = 10, jeg må redegjøre for alle produktene fra 5 og 2. Ser vi på faktorene i utvidelsen ovenfor, er det mange flere tall som er multipler av
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
enn det er multipler av
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Det vil si hvis jeg tar alle tallene med 5 som faktor, vil jeg ha mye mer enn nok partall for å parre med dem for å få faktorene 10 (og en annen etterfølgende null på min faktor). Så å finne antall ganger 10 er en faktor, alt jeg virkelig trenger å bekymre meg for er hvor mange ganger 5 er en faktor i alle tallene mellom 1 og 200.
Ok, hvor mange multipler av 5 er det i tallene fra 1 til 200? Der «s 5, 10, 15, 20, 25, …
Åh, pokker, la oss gjøre dette på kort vei: 200 ÷ 5 = 40 , så det er førti multipler av 5 mellom 1 og 200.
Så vil svaret være 40 .
Men vent: 25 er 5 × 5, så hvert multiplum av 25 har en ekstra faktor av 5 som jeg trenger å redegjøre for. Hvor mange multipler av 25 er mellom 1 og 200?
Siden 200 ÷ 25 = 8 , det er åtte multipler på 25 mellom 1 og 200.
Og vent litt, det er 125 også som er 5x5x5. Så vi må legge 1 til antall nuller.
Så nå er totalt antall nuller = 40 + 8 + 1, betyr 49.
Så i 200! det er 49 etterfølgende nuller. Og ikke sjekk det med kalkulator, ettersom kalkulator ikke klarer å gjøre det.
Svar
Etterfølgende nuller er en sekvens på 0 «s i desimalrepresentasjonen av et tall, etter som ingen andre sifre følger. Det kan løses på to måter –
- La oss se på hvordan etterfølgende nuller blir dannet i utgangspunktet. Et etterfølgende null dannes når et multiplum av 5 multipliseres med et multiplum av 2. Alt vi trenger å gjøre er å telle antall 5 og 2 i multiplikasjonen.
Hvert par på 2 og 5 vil forårsake et etterfølgende null. Siden vi bare har 24 5-er, kan vi bare lage 24 par med 2 og 5-tallet, og dermed er antallet etterfølgende nuller i 100 faktor 24 .
2. Spørsmålet kan også besvares med den enkle formelen nedenfor:
Ovennevnte formel gir oss det nøyaktige antallet 5s i n! fordi den tar vare på alle multipler på 5 w som er mindre enn n. Ikke bare at den tar vare på alle multipler av 25, 125 osv. (Høyere krefter på 5).
Tips: I stedet for å dele med 25, 125 osv. (høyere krefter på 5); det ville vært mye raskere hvis du delte med 5 rekursivt.
La oss bruke dette til å løse noen eksempler:
Q) Hva er antall etterfølgende nuller i 100! ?
[100/5] = 20
Nå kan vi enten dele 100 med 25 eller resultatet i trinnet ovenfor, dvs. 20 med 5.
[ 20/5] = 4. Det er mindre enn 5, så vi stopper her.
Svaret er – 20+ 4 = 24 (direkte svar på bare noen få sekunder)
Q) Hva er antall etterfølgende nuller i 200! ?
[200/5] = 40
Nå kan vi enten dele 200 med 25 eller resultatet i trinnet ovenfor, dvs. 40 med 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Det er mindre enn 5, så vi stopper her.
Svaret er – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Hva er antall etterfølgende nuller i 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Det er mindre enn 5, så vi stopper her.
Svaret er – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Hvis du har spørsmål, er du velkommen til å stille i kommentarseksjonen.