Beste svaret
Svaret opprinnelig: Hva er et godt estimat av kubaroten av 4?
Den niende roten til N er en rot av x ^ nN = 0. Derivatet av x ^ nN er nx ^ {n-1}, så gitt et innledende estimat, x, av roten, er et nærmere estimat ved bruk av Newtons metode
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
som er gjennomsnittet av ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 of these}} \ text {and} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Dette vektede gjennomsnittet er fornuftig når du først er klar over at både x og \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} er estimater av den nte roten til N, at de er «av» i motsatt retning. , og at x er et n-1 ganger bedre estimat enn \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Nå, la oss bruke metoden …
La N = 4. La x være estimatet ditt av kubaroten på 4. Start med et godt gjetning, for eksempel x = 2. Beregn deretter
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ for å få et bedre estimat.
I dette tilfellet
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ ca 1.66666667 …
Gjenta deretter med x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ ca 1.5911111 …
Dette er en tilnærming som er god til omtrent tre betydelige sifre, så la oss gjøre det en gang til,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ ca 1.58740969614163 …
Dette er omtrent seks signifikante sifre. For hver iterasjon dobles antallet korrekte siffer omtrent.
Svar
Avhengig av hvor mye du vet i matematikk, er det to mulige måter-
- Bruk logaritmer
- Bruk iterative metoder (Biseksjonsmetode, Newton-Raphson-metoden osv.)
Logaritmer- Ta x = 2 ^ {1/3}
Så, logg (x) = 1/3 * logg (2)
logg (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (ca.)
derfor, x = antilog (0.100343) = 1.2599 (ca.)
Iterative metoder- Jeg vil vise med halveringsmetode, du kan prøve andre hvis du vil. (Prosessen er nesten den samme.)
La x = 2 ^ {1/3}
Så, x ^ 3 – 2 = 0
La f (x) = x ^ 3 – 2
Vi velger to verdier slik at den ene gir f (x) <0 og den andre gir f (x)> 0
Vi ser at f (x) <0 for x = 1 og f (x)> 0 for x = 2. Så, x1 = 1, x2 = 2
Nå tar vi gjennomsnittet av disse verdiene som nye x
Så, nye x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Vi ser at både 1,5 og 2 gir verdier> 0, så vi forkaster 2, da det gir verdien av f (x) mer unna 0. Vi holder bare verdiene på x som gir verdien av f (x) nærmere 0
Så vi tar x1 = 1 og x2 = 1,5
igjen finner vi nye x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Nå skal vi kast 1 som 1,25 gir verdien av f (x) nærmere 0
så vi tar x1 = 1,25 og x2 = 1,5
Igjen finner vi nye x som gjennomsnitt av disse 2 verdiene, erstatt i f (x) for å se tegnet, og avhengig av det, tar vi de nye x1- og x2-verdiene.
Gjenta denne prosessen til du er fornøyd med svaret ditt (siste x).
P.S. Disse prosessene vil aldri gi eksakt svar, du må stoppe på en omtrentlig.