Beste svaret
Jeg kan forstå at du vil ha svar her. Tradisjonelt er en fold verdien av en ting; ergo, er en økning 100 ganger. Dette gir imidlertid forvirring, ettersom folk flest anser en dobbelt interesse for å være dobbelt så mye som verdien (200\%) av en ting – den populære definisjonen. Selv Collins Dictionary of Mathematics, definerer «-fold» til å bety «ganger», som i «dobbel» tilsvarer «to ganger», som tilsvarer dobbelt. Noen forskere bruker «fold» for å være synonymt med det matematiske ordet » ganger, «som i» tre ganger større «betyr» tre ganger større. » Imidlertid insisterer andre på å bruke “fold” tradisjonelt for å beskrive den totale verdien av en ting; dermed er «60 ganger større enn 30.»
Jeg er sikker på at dette ikke gjør det enklere for deg å bestemme deg – den populære versjonen over den mer tradisjonelle bruken – men for å unngå feiltolkning, i daglig bruk kan det være lurt å holde fast ved den populære definisjonen.
Svar
Interessant spørsmål. La oss dele det opp.
- Hvorfor beregnes determinanter ?
Det er ærlig talt ikke en eneste grunn på jorden hvorfor du skal beregne en determinant, bortsett fra når den blir spurt i en lineær algebra-test. Determinanter brukes i eksistensbevis for en løsning til et sett med lineære ligninger av formen Ax = b der determinanter spiller en hovedrolle. Cramers regel – Wikipedia
Dette har ført mange misviste sjeler til konklusjonen om at denne regelen er en god måte å beregne løsningen på. Det er det ikke. La meg forklare hvorfor.
2. Hvorfor beregnes determinanter slik de beregnes
Det første du lærer i lineær algebra 101 er å utvide en determinant langs en rad eller kolonne, som kan formuleres rekursivt som
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
der A\_ {kj } er submatrisen du får ved å kaste den femte raden og den jte kolonnen til A. Dette er OK hvis matrisen din er 3 \ times3 eller 4 \ times 4, blir kjedelig når n = 5 og angrebar for større n . Men vi har datamaskiner, ikke sant? Greit. La oss gjøre dette vitenskapelig og gjøre en operasjonstelling. La T\_n være antall operasjoner for å beregne en n \ ganger n determinant på denne måten. I en lineær algebra-sammenheng er «operasjon» en multiplikasjon etterfulgt av et tillegg. Så tydelig
T\_n = nT\_ {n-1}
Hei! Ringer ikke dette en bjelle? Ja, dette er fakultetsfunksjonen og T\_n = n !. Nå hvis vi hadde en datamaskin som kan utføre 10 ^ {20} operasjoner per sekund, noe som bare kan skje hvis kvantecomputere blir operative og vi måtte beregne en 100×100 determinant etter rad- eller kolonneutvidelse, ville vi trengt > 100! = 9.3326E157
operasjoner. Og 100 \ times100 er ikke overdreven, industrielle applikasjoner kommer ofte inn i millioner. Nå har et år 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekunder, så vi kan ikke gjøre mer enn 3.2E27 operasjoner per år, som bare er en dråpe i havet på 9.3E157. Mer spesifikt trenger vi 3E130 år, og med tanke på at den estimerte alderen på universet er 13.8E9 (6E3 hvis du er kreasjonist), er vi noen år korte.
Konklusjon: dette er ikke en god måte å beregne en determinant på.
Og for å beregne en løsning etter Cramers regel trenger du å beregne 101 determinanter. Cramers rule r00l ikke i det hele tatt! Det er av teoretisk, ikke av praktisk verdi.
Derfor bør du bruke en LU-nedbrytning ( LU-nedbrytning – Wikipedia ) for å beregne en determinant, og som en ekstra fordel gir den deg også løsningen på systemet ditt Ax = b. Operasjonstallet for LU er \ frac13n ^ 3. For å få en determinant av at du multipliserer alle diagonale elementene i U. (\ cal O (n)). For å få løsningen på systemet ditt krever Ax = b ytterligere n ^ 2-operasjoner. Så alt i alt vil det kreve 3.34E5-operasjoner, og vi vil være klare i løpet av 10 ^ {- 14} sekunder.
Sheldon Axler skrev en lineær algebra-tekst som ikke bruker noen determinanter https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
og jeg er sikker på at Alon Amit (“matriser suger, operatørregelen”) ville godkjenne.