Beste svaret
Teknisk sett fungerer det ikke som logg \, n = log\_ {10} \, n, ikke log\_2 \ , n.
Men hvis a = b, så logg \, a = logg \, b, ikke sant? Så hvis n = n (som den åpenbart gjør), så log\_2 \, n = log\_2 \, n. Nå, som log\_2 \, 2 = 1, kan vi også skrive log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, ikke sant?
Og som logg \, a ^ b = b \ cdot log \, a, vi ser at log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Det er en kjent egenskap for logaritmer.
Nå, det siste trinnet trenger deg til å innse at logaritme er en monoton funksjon. Det er avgjørende; det betyr at hvis resultatene er de samme, er argumentene også de samme. Det ville ikke fungere for f.eks. sinus … Men for monotone funksjoner, hvis f (x) = f (y) så x = y. Så vi kan endelig si at 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
Svar
Bruk egenskapen til logger der \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, vi kan bevise utsagnet, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
Beviset:
La oss sette den opprinnelige setningen lik y. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Nå kan vi bruke loggbase 2 på hver side. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Ved å bruke tidligere angitt egenskap for logg, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
Loggbase b av b vil alltid være lik 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Derfor, y = n