Beste svaret
For å bevise dette, bruk sinus-subtraksjonsformel.
> dvs. sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Her er a = π og b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Derfor bevist
Svar
Bevis 1:
Den enkleste måten å bevise
cos (π / 2 – x) = sin x
er å sette A = π / 2, B = x i den trigonometriske formelen
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
og få
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Erstatter cos π / 2 = 0 og sin π / 2 = 1 i (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
Bevis 2:
La ABC være en trekant rettvinklet ved B. La AB være basen og AC hypotenusen. Hvis vi betegner vinkelen C med x, vil grunnvinkelen A = (π / 2 – x) slik at A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π eller 180 °.
Nå for grunnvinkelen A er BC vinkelrett.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / hypotenuse = AB / AC ………… .. (3 )
For vinkelen C er AB vinkelrett og derfor
sin C = sin x = vinkelrett / hypotenuse = AB / AC ……………. (4)
Likestilling (3) og (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
Bevis 3:
Bruk Eulers formel
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
som definerer symbolet eⁱᶿ for hvilken som helst reell verdi av θ. Her er i = √-1.
∴ Vi kan sette θ = (π / 2 – x) i formelen og skrive
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nå e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i og e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Siden i² = -1]
Likestiller de virkelige og imaginære delene,
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
og cos x = sin (π / 2 – x)
Avsluttende bemerkninger:
Av de tre metodene som presenteres her for å bevise den gitte påstanden, bør den foretrukne metoden være bevis 1. Dette er fordi det er enkelt, rett frem og raskt. Kan gjøres mentalt av en gjennomsnittlig student på omtrent 30 sekunder. I bevis 2 er det rom for forvirring om hvilken som er basen, som er den rette vinkelrett å ta. I tillegg må man bruke ekstra tid på å tegne en trekant, merke sidene, vinklene osv. Bevis 3 er bra; men ikke mange er komfortable eller gode til å jobbe med komplekse funksjoner. Metoden innebærer mer algebra enn de andre metodene; men det gir en bonus, nemlig: det beviser formelen cos x = sin (π / 2 – x).