Beste svaret
Hvordan du beviser at identiteten avhenger i stor grad av hvordan du tenk på sinus og cosinus.
Hvis du tenker på sinus og cosinus som forholdet mellom sidene til en rett trekant (som på videregående, der de lærer sinus som motsatt over hypotenusen), så får du en riktig trekant med sidene a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (sistnevnte av Pythagoras trekant), og \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Hvis du tenker på sinus og cosinus som koordinatene til et punkt på enhetssirkelen (parameterisert av sirkelens bølgelengde), tilfredsstiller hvert punkt ved definisjonen av enhetssirkelen x ^ 2 + y ^ 2 = 1, så punktet (\ sin \ theta, \ cos \ theta) gjør det også, så \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus og cosinus kan også defineres som uavhengige løsninger på differensialligningen f = -f, med \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Siden det bare er to uavhengige løsninger på ligningen , og det er lett å se at f ^ {(n)} er en løsning, det må være slik at \ sin x, \ sin x, \ sin x ikke kan være uavhengige løsninger. Faktisk, \ sin x = – \ sin x, så \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, så \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Fra dette kan vi implisitt skille \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x for å få 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Så verdien av \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x er en konstant, og evaluert til 0 får vi \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, så \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus og cosinus kan også defineres av kraftserien \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. En nøye utvidelse av disse kraftseriene i uttrykket \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x vil vise alle ordene som involverer x ^ n avbryte, og la bare det konstante begrepet 1 være som verdien.
Svar
For å tenke på dette, må vi vurdere hva de trigonometriske forholdene er. Vi vet at sinusforholdet er lik vinkelen motsatt en side over hypotenusen fra en vinkel, eller o / h. Vi vet også at cosinusforholdet er lik den tilstøtende siden til en vinkel over hypotenusen, eller a / h. Deretter ser vi at begge disse forholdene er kvadratiske, noe som betyr at den trigonometriske identiteten, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, tilsvarer (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, som er lik o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Siden vi har en fellesnevner, kan vi kombinere disse to ligningene for å få, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Vi kan da se på dette og innse at vi definerer alle sidene i en trekant. Vi vet av Pythagoreas teorem at a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan se at siden hver av disse verdiene til o, a og h er alle de forskjellige sidene av en trekant, at de er lik a, b og c. Verdien av c i Pythagoras teorem er hypotenusen til en rettvinklet trekant, så vi vet at h = c. Dette betyr at a og b er lik o og a. Det spiller ingen rolle hvilken som er tildelt hvilken bokstav, ettersom resultatene ikke endres. Vi kan da se at vi gjennom Pythagoreas teorem vet at a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, som fører til o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Dette betyr at vi kan erstatte telleren til vår forrige ligning, slik at den tilsvarer (h ^ 2) / (h ^ 2). Til slutt vet vi at enhver variabel delt i seg selv er lik 1, derfor er denne ligningen lik 1. Hvis vi går tilbake til den opprinnelige ligningen, har vi bevist at sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.