Beste svaret
* A2A
Sinus er den trigonometriske funksjonen som er lik forholdet mellom siden motsatt en gitt vinkel (i en rett trekant) og hypotenusen.
Merk: alle trigonometriske funksjoner gjelder bare for høyre trekanter ..
Men verdien av sinus er avhengig av vinkelen..Så for en vinkel a er verdien av sinus alltid den samme .. Uansett hvor stort det motsatte
Utvalget av verdiene til sinus er [-1,1]…
Uansett hva vinkel kan være .. Når vi får en verdi av sinus for vinkler som har en hvilken som helst verdi … Vi kan nå si at:
f (x) = sinx .. Her kan x være hvilken som helst vinkel fra minus uendelig til pluss uendelig..Men verdien på tegnet vil alltid være innenfor området [-1,1] ..
Denne funksjonen er imidlertid ikke forskjellig fra normal funksjon vi vet: f (x) = x ^ 2–3x + 6
Her er noen artikler som referanse .. Du finner en bedre og beskrevet definisjon av sinus og andre trigonometriske funksjoner her ..
https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
Svar
Det er flere måter å definere sinus på som en funksjon, avhengig av hvilke regler du tillater for definisjonen.
En måte er å si at \ sin x = -i \ Im e ^ {ix}. Noen vil hevde at det skifter problemet fra «hvordan definerer du sinus» til «hvordan definerer du kompleks integrasjon», men det er en bagatell.
På samme måte kan man si at sinusen er den unike virkelige funksjon f (x) som tilfredsstiller differensiallikningen f «» = -f med de opprinnelige betingelsene som f (0) = 1, f «(0) = 0. Dette er en implisitt definisjon, ikke en eksplisitt. Men det er en gyldig definisjon.
Denne definisjonen kan imidlertid brukes til å generere en Taylor-utvidelse for å få
\ begin {align} \ sin x & = f (0) + xf «(0) + \ frac {x ^ 2} {2} f» «(0) + \ cdots \\ & = \ sum\_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ i} {i!} \ frac {d ^ if} {dx ^ i} \\ & \ approx x – \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 5} {120} – \ frac {x ^ 7} {5040} \ end {align}
Det siste uttrykket er det en syvende ordens polynomial tilnærming for sinusfunksjonen, som er nøyaktig til omtrent 7 desimaler for 0 \ leq x \ leq \ pi / 4.
Det er noen finesser, for eksempel å bevise at Taylor-serien konvergerer for alle x, men det er egentlig slik for å gjøre det.
Du kan kanskje komme på noe basert på buelengden til en sirkel: \ theta = \ int\_0 ^ {\ sin \ theta} \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2}, x ^ 2 + y ^ 2 = 1, xdx = -ydy, men jeg er ikke tilbøyelig akkurat nå til å prøve å løse det for \ sin \ theta.