Beste svaret
Med … differensial, tror jeg. Ta for eksempel grafen y = x ^ 2, en fin og enkel kvadratisk funksjon. Og hvis vi husker vår precalculus-leksjon, vet vi at skråningen (eller tangenten) på et gitt punkt kan beregnes med m = dy / dx og dy / dx for den funksjonen er dy / dx = 2x.
Så hvis Hvis du vil vite stigningen til denne kvadratiske ligningen på et tidspunkt x1 eller x2, kan du bare plugge inn denne verdien x1 til dy / dx = 2x, og dette vil gi deg stigningsverdien på de x1 punktene. For eksempel vil du vite hvor mye skråningen ved x = 6, og koble til for å få m = dy / dx = 2 (6) = 12.
Vel, hvis du ikke tror på dette metoden, kan du bare gjøre med tradisjonell tangentsøk slik at m = Δy / Δx eller stige / løpe
men som du kanskje la merke til, hvordan kan vi gjøre det, siden kvadratisk en ikke egentlig er «rett en linje ”og gjør i stedet noen kurver. Vi trenger et slags verktøy i matematikk som vi har blitt kalt «Limit». Jeg mener, vi tar et punkt du vil vite stigningen, la oss si x0, den må ha den tilsvarende f (x0) [husk, kvadratisk ligning er godt definert for enhver reell verdi x], så tar vi en annen x1, la oss si de er skilt fra h-enheter, slik som h = x1 – x0
for x1, de skal også ha en tilsvarende f (x1) med seg og kan uttrykkes som f (x0 + h). Nå har vi to poeng, vi har stigningen, og løpeturen som vi kan ta inn i vår «tradisjonelle tangensøkende» formel m = stige / løpe.
m = stige / løpe
m = y1 – y0 / x1-x0
m = f (x0 + h) – f (x0) / h
Men dette vil ikke være nøyaktig siden denne metoden bare finn tangenten mellom disse to vilkårlige punktene et sted på grafen, ikke egentlig tangenten på x0-punktet. Ikke bekymre deg, her bruker vi den “Limit” [tho ’du kanskje ikke liker det].
Se for deg x1-punktet. Tenk deg at den vil komme sakte til x0 når h vil nærme seg 0. Hva skjer? Ja, du vil få den fine tilnærmingen [den bestemte verdien] av tangenten på et eller annet tidspunkt ønsket x0. Dette uttrykket:
Lim h-> 0 [(f (x0 + h) – f (x0)) / h]
er nøkkelen til å finne den skråningen på disse kvadratiske ligningene . Faktisk kan den brukes til alle slags kontinuerlige (på det tidspunktet) funksjonene.
Imponert allerede? Hvis du la merke til, er den formelen faktisk definisjonen av Differensial i seg selv. Så faktisk bruker du differensial for å finne stigningen for alle slags kontinuerlige funksjoner.
Svar
Du har en stigning som endrer seg langs kurven til en kvadratisk ligning. Det er en parabel, så hellingen til et gitt punkt er unik.
Den øyeblikkelige helningen til en ikke-lineær kurve kan bli funnet i form av den uavhengige variabelen (vanligvis x ) ved å beregne det første derivatet av funksjonen. For et gitt punkt på kurven kan du legge inn x-koordinaten i den første avledede funksjonen, og den resulterende verdien er stigningen på det punktet på kurven.
Eksempel:
En kvadratisk funksjon
f (x) = x ^ 2 + 4x + 4
Derivatet av f (x) er:
f (x) = 2x + 4
så på punktet på kurven der x = 1 for eksempel, f (1) = 2 (1) + 4 = 6
Så ved x = 1 er øyeblikkelig skråning av kurven vil være 6.
Plugg inn andre x-verdier i den avledede funksjonen for å finne stigningen på de x-stedene på kurven.