Beste svaret
Et komplekst tall er et todelt tall. Den har en reell del og en imaginær del. Vi pleier å skrive det i form,
a + bi, der i er kvadratroten til negativ, dvs. (-1) ^ (1/2)
I mellomtiden , kvadratet av et tall er antallet ganger seg selv. Dette betyr at
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Vi møtte noe lignende dette når vi vurderte faktorer for kvadratiske ligninger. Det er en systematisk tilnærming for å utvide produktet av to todelt faktorer. Du har kanskje møtt akronymet «FOIL»:
- Multipliser de to F første termer
- Multipliser de to O uteromene
- Multipliser de to I nnerbetingelsene
- Multipliser de to L ast termer
Sum de fire ordene for svaret
Bruk den samme FOIL tilnærming, med (a + bi) * (a + bi), får
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Vi kan omorganisere litt. De to midterste begrepene er de samme, så vi kan liste dem en gang, men multiplisert med to.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Og nå vil vi se på den siste termen, og innse at kvadratet til et produkt kan skrives som produktet av de separate rutene. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
La oss bruke den regelen:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Men “i” er kvadratroten til -1. Kvadratet til kvadratroten til et tall er selve tallet. Så (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
La oss plugge dette inn.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Den siste termen er fortsatt stygg. Vi kan pendle den «ganger negative» til den andre siden, og omskrive hele begrepet som en subtraksjon.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Men ser på uttrykk, følger vi ikke formatet til en reell del etterfulgt av en imaginær del. Vi har en reell del, en imaginær del og en annen reell del. La oss gruppere de virkelige delene sammen.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Svar
Tenk først på et komplekst tall, a + bi som et ordnet par (a, b ). I KOMPLEKSPLANET med en horisontal REAL AXIS der x-aksen normalt er og en vertikal IMAGINARY AXIS der y-aksen normalt er, grafer du punktet (a, b) på normal måte. Nå, avstanden fra opprinnelsen til punktet (a, b), tror jeg kalles MODUL for komplekse tall, la oss kalle det r.
Vi vet at r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) av PYTHAGOREAN-setningen. (Beklager notasjonen, men jeg er begrenset med det.)
Også vinkelen mellom den positive reelle aksen og linjen fra opprinnelsen til (a, b) vi vil kalle Theta (la oss bruke T til det). (Det kalles ARGUMENTET til kompleksnummeret)
Nå. Kompleksnummeret a + bi kan skrives i POLAR FORM som
a + bi = r (Cos T + iSin T) siden
a = r CosT og. b = r Sin T
Å ta kvadratroten av a + bi, bruk den polære formen.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Så, for å lage dette enkelt, bare se på grafen for det komplekse tallet a + bi, med en linje fra opprinnelsen til (a, b). Roter nå linjen halvveis tilbake til x-aksen, og forkorte den til kvadratroten så lenge den Koordinaten til det endepunktet er kvadratroten av det komplekse tallet er kvadratrot er bare 180 grader derfra.
For å bevise det, la oss ta kvadratroten av Z = -4
Grafen er et punkt på den negative reelle aksen , 4 enheter til venstre for opprinnelsen. Vinkelen T = 180 grader.
For å ta kvadratroten på -4, roter du bare linjen tilbake til 90 grader (halvparten av 180) og forkorter lengden til 2 kvadratroten på 4. Vi avvikler 2 enheter opp på den imaginære aksen. SÅ en kvadratrot på -4 er 2i. Og den andre kvadratroten er -2i, 180 grader unna.
I symboler:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
og 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
For å få kvadratroten til (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radikal 2 over 2 + (i) radikal 2 over 2.