Beste svaret
Når jeg har sett på de andre svarene som allerede er lagt ut, er jeg slett ikke fornøyd med deres fullstendighet. … og, som en erfaren matteveileder, føler jeg meg forpliktet til å gi et kort svar.
cos (2x) formelen du angav, er en av de tre doble vinkelidentitetene for cosinus. Å løse denne ligningen for sin (x / 2) resulterer i halvvinkelidentiteten for sinus.
Vær oppmerksom på at der Jeg merket *. En av de mindre kjente reglene for trigonometri indikerer at du ekvivalent kan dele alle trig-funksjonsargumenter med samme konstant på begge sider av en ligning. Faktisk kan du dele hvilken som helst konstant. men dette kan ikke alltid være nyttig. Prøv å løse ligningen ovenfor for sin (x / 3), og bruk denne for å finne synd (pi / 12). Det fungerer nydelig.
Nå, for å faktisk bruke sin (x / 2) -formelen, må du manipulere den gitte ligningen ved å bruke en ekvivalent, kompleks brøk som vist her:
Dette vises selvfølgelig i det første bildet ovenfor. Foruten å vite / utlede halvvinkelsidentiteten, er den største utfordringen faktisk å bruke den.
Svar
I. La oss bruke en problemløsningsmetode kjent som ekvivalens .
Med denne tilnærmingen velger vi et fordelaktig objekt eller et sett med objekter og ser ut mot dem fra forskjellige … vinkler med håp om at vi kan få et fruktbart forhold i prosessen.
Et slikt objekt eller en forestilling kan være kvadratisk område .
Vi starter med en rett trekant hvis lengde på hypotenusen er en enhet, velger en vinkel x og markerer lengden på trekantsidene som \ cos x, som vi er enige om å behandle som trekantens høyde , og \ sin x, som vi er enige om å behandle som trekants base :
Så antar vi at det er et bevist faktum at kvadratarealet til en trekant er det halverte produktet av basen e over høyde:
En \_ {\ trekant} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Neste trinn er ganske utfordrende fordi vi i vakuum ikke helt vet hva som venter oss på den andre siden av 2 \ sin x \ cos x. Fra oppdagernes synspunkt stirrer vi i det ukjente avgrunnen. Så kall det intuisjon, en lykkelig tanke eller bare en nese, men vi resonnerer slik:
ok, vi har funnet en måte å knytte en konkret forestilling (et firkantet område) til et ellers abstrakt og la oss innse det, ganske mystisk uttrykk, men – ikke akkurat siden vi fremdeles må jobbe faktoren 2 der inne.
Hvordan kan vi gjøre det?
Vel, hva med å grense til de to identiske trekanter sammen?
Så forblir høyden, eller \ cos x i vår lingo, den samme, men vi vinner ved å sveise de to identiske basene, \ sin x i vår lingo, inn i en:
Vær oppmerksom på at vi pedantisk følger / tolker uttrykket ditt.
Nå er tiden inne for ekvivalens å stå høyt og bli telt. Den nye sammensatte formen er fortsatt en trekant, og dens firkantede areal er fortsatt:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
men vi har rett til å se på den samme formen annerledes: hvis vi behandler siden av lengde 1 som en base, så er vinkelrett på den, vist i rødt, høyden. Men vinkelen på toppunktet er 2x. Derfor er den nye høyden per definisjon:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Derfor kan det samme firkantede området i samme trekant være gjengitt som:
En \_ {\ trekant} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Men ( 2 ) og ( 4 ) representerer samme størrelse. Derfor:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
hvor vi oppdager at:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. For en lignende, men mer leseverdig behandling, start med samme trekant som ovenfor og dobl lengden på \ sin x-siden ved å konstruere en sirkel \ sigma med sentrum ved B og radius BA:
Men nå krysser AC \ sigma ved E (så lenge x 5 ^ {\ circ}) og enten av Thales teorem eller av Euklids B3P31 (vinkelen i en halvcirkel er rett) vinkelen ved E er rett:
og siden de rette trekantene ABC og AED deler en felles vinkel \ theta følger det at \ vinkel ADE = x og fra \ trekant AED for ED har vi:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Men fra høyre trekant CED for ED har vi:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
og derfor:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(du kan tenke på dette som en tynnere ekvivalens, ettersom vi har brukt lengden på et linjestykke for å bygge bro over gapet mellom de to brikkene sammen)
III. Denne versjonen kan med all sannsynlighet virke for avansert, men jeg vil vise den uansett og av to grunner. En grunn er å demonstrere at det ikke bare er mange forskjellige måter å oppnå samme resultat i matematikk, men noen av disse måtene kan virke overraskende. Den andre grunnen – du vil ha noe å se frem til å lære.
På et eller annet tidspunkt i matematisk utdanning kan du støte på disse objektene kalt komplekse tall . Med disse tallene kan våre to trigonometriske funksjoner registreres som følger (på grunn av en stor sveitsisk matematiker Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
der e er Eulers nummer og jeg har denne særegne egenskapen at i ^ 2 = -1 men ignorerer alt dette et øyeblikk og bare rett ut multipliser de to ovennevnte brøkene i henhold til reglene i ungdomsskolealgebra:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
i henhold til ( 5 ).