Beste svaret
Hvordan finner jeg overflaten til en sirkulær ring?
En sirkulær ring er i hovedsak en torus.
Overflaten til en torus er den som er laget av en sirkel med radius r rotert rundt en akse i en avstand R fra sentrum av sirkelen (R> r). Aksen går gjennom sentrum av torusen.
Dermed får vi en sirkulær ring med tykkelse 2r med indre radius Rr og ytre radius R + r.
Et tverrsnitt av sirkulæret ringen er gitt nedenfor.
Vurder en liten del av sirkelen til venstre, i en vinkel \ theta med linjen forbinder sentrene til de to sirklene ved de diametralt motsatte endene av tverrsnittet, og underkaster en vinkel d \ theta i midten av sirkelen, som vist på figuren.
Buen dannet av vinkelen d \ theta er r \, d \ theta.
Avstanden til denne buen fra sentrum av ringen er Rr \ cos \ theta.
Når vi dreier denne buen rundt aksen passerer gjennom sentrum av ringen, får vi en stripe av overflaten av ringen som måler 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
For å få overflatearealet til ring må vi integrere dette fra \ theta = 0 til \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limits\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad The overflaten på den sirkulære ringen er 4 \ pi ^ 2rR.
Svar
Det er to typer sirkulære ringer jeg har sett.
[1] Sirkulær ring med sirkulært tverrsnittsareal.
i dette tilfellet, for å finne overflaten, må du bare lage et kuttet tverrsnitt. Det ser ut som … sylindrisk stang.
Finne overflaten er
Radius av sylindrisk stang, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, hvor R\_1 og R\_2 er intern og ekstern radius av sirkelring.
Lengde på sylindrisk stang, l = 2 \ pi R\_m, der R\_m betyr radius av sirkelringen, dvs. R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Overflateareal = 2 \ pi rl = 2 \ ganger \ pi \ ganger \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ ganger (2 \ pi \ ganger \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
dvs. , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Sirkulær ring uten sirkulært tverrsnitt: for eksempel, ta et rektangeltverrsnitt
hvis vi kutter tverrsnittet
Jeg tror at overflatearealet kan beregnes enkelt. Gjør det selv!