Beste svaret
Start med å observere at sin 35 ° er nær sin 30 ° = 1/2. Så vi vet umiddelbart at det er omtrent 1/2. Det er omtrent 7\% av den faktiske verdien.
La oss prøve å få et bedre estimat. Ved vinkeltilleggsidentiteten,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Nå, siden 5 ° = π / 36 er en relativt liten vinkel, kan vi bruke tilnærmingene sin x ≈ x og cos x ≈ 1. Så
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nå π ≈ 22/7, og (√3 / 2) ≈ 7/4 fordi 49/16 ≈ 3. Så vi får
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Dette skiller seg fra den sanne verdien med mindre enn 1\%.
En annen tilnærming er å beregne den ved hjelp av de første parbegrepene i Taylor-seriens utvidelse av sin x . Dette er nøyaktig til bedre enn 0,1\%, men vanskeligere å beregne for hånd enn 83/144.
Svar
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nå er Sin (3x), fra den generelle formelen, lik 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, og derved setter x = 10 grader, noe som gir Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 og derfor,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 eller, ved å manipulere denne ligningen og sette Sin (10) = y, får vi
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Løs denne kubikken ved hjelp av en numerisk iterativ metode som Newton-Raphsons metode, for hånd, for å få, etter et slag:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Du kan selvsagt gå til færre tall avhengig av hvilken presisjon du trenger.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Sett verdiene for Cos (10) og Sin (10) i (1) ovenfor for å få:
Sin (35) = 0.57357643639 som ønsket.