Beste svaret
Siden ellips er en sirkelformet sirkel, kan vi vurdere en ekvivalent sirkel. Dette ville bare være en tilnærming og ikke den nøyaktige verdien av omkretsen til ellipsen.
Vi vet at ligningen til en ellips er:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Når a = b = r blir dette ligningen til en sirkel. Så jeg kunne skrive ligningen av ekvivalent radius av sirkelen i form av a og b.
I stedet for å ta gjennomsnittet av a og b ville vi få en bedre tilnærming ved tar rotens middelkvadrat av a og b.
dvs.
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Derfor vil den omtrentlige omkretsen av ellipsen være:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Det er mye bedre tilnærminger der ute, men jeg tror dette ville være nok.
Håper dette hjalp.
Svar
La oss prøve om vi kan finne omkretsen til en ellips.
En ellips med halv hovedakse a og halvakse b har ligning:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
En graf (vi må nøye oss med maling her, min matteprogramvare trenger fornyelse av lisensen):
For å finne omkretsen må vi uttrykke en del av denne omkretsen \ text {d} s som en funksjon av \ text {d} x, \ text {d} y og forhåpentligvis ankomme ved noe brukbart uttrykk.
Hvis vi antar at vi kan tilnærme \ text {d} s med en rett linje, kan vi bruke Pythagoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Jeg antar at vi alltid tar \ text {d} x> 0, eller vi flytter fra venstre til rett langs hovedaksen.
Alt som er igjen er å annonsere d disse små bidragene med buelengde. Vi kan vurdere x \ i [0, a] og multiplisere med 4 fordi ellipsen vår er symmetrisk i x, y-aksen.
Vi fant:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Hvis vi finner en (fin) måte å uttrykke:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
vi er i virksomhet.
Men vi har allerede uttrykk (1), som er relatert til y. Tid til å beregne (3), jeg bruker implisitt differensiering:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Vi trenger å kunne skrive dette bare ved hjelp av x. Vi bruker (1) igjen:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Erstatning (5) til (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Erstatning for (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Det er noen alternativer for å omskrive denne integralen. Et alternativ vil være å sette x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z, og en vil komme til:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
En annen metode ville være å bruke en parametrisering av ellipsen i følgende skjema:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Og dette fører til en elliptisk integral av den andre typen, som er mer eller mindre standardtilnærmingen:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
med
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
ellipsens eksentrisitet.
Sammenligning av uttrykkene (6,7) og (8) ser vi at man kanskje foretrekker (8) fremfor (6, 7). Det siste uttrykket er ikke bare enklere i parameter e, men oppfører seg pent. I uttrykk (6,7) har vi fortsatt et problem når x \ til a, z \ til 1.
Imidlertid, det er ikke noe lukket formuttrykk for resultatet. For en sirkel har vi e = 0 og (8) reduseres pent til 2 \ pi a, slik det er ment å gjøre. Det samme gjelder for (6,7).