Beste svaret
A2A.
Verdien av tan40 ° kan ikke bli funnet ved hjelp av standard trigonometrisk sum, forskjell eller formler med flere vinkler. Men hvis du er komfortabel med å løse kubiske ligninger, kan denne metoden komme til nytte –
Vi vet,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Erstatter x som 40 ° i denne ligningen—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Skrive tan40 ° som y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° er en standardverdi og er lik – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Ved å løse denne ligningen oppnås tre verdier hvorav den positive verdien gir tan 40 °.
Derfor omtrent brun 40 ° = 0,8394.
Svar
Hva er verdien av \ tan 40 ^ o?
Vi kan finne verdien av \ tan 40 ^ o til ethvert ønsket nøyaktighetsnivå ved bruk av Taylor-serien av \ tan x.
Taylor-serien til en reell eller kompleks verdsatt funksjon f (x) som er uendelig differensierbar på et reelt eller komplekst punkt a er gitt av ,
f (x) = f (a) + \ frac {f «(a)} {1!} (xa) + \ frac {f» «(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f «» «(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Dette kan skrives kompakt som f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad hvor f ^ {(n)} (a) betegner n ^ {th} -derivatet av f (x) ved x = a.
Det kan bemerkes at i tilfelle av trigonometriske funksjoner, må vinkelen uttrykkes i radianer og ikke grader.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ høyre) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Tar vi x = \ frac {2 \ pi} {9} og a = \ frac {\ pi} {4}, har vi (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Ved a = \ frac {\ pi} {4} er \ tan x uendelig forskjellig.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f «(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f» (a) = f «\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f» «(x) = 2 \ sek ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f «» (a) = f «» \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f «» «(x) = 4 \ sek ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sek ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f «» «(a) = f» «» \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ høyre) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ venstre (\ frac {\ pi} {36} \ høyre) ^ 3 \ ca. 0,83892575.
Verdien av \ tan (40 ^ o) som gitt av Excel er 0.83909963.
Det kan sees at selv med bare 4 termer i denne uendelige serien, er feilen bare 0,0272 \\%.
Hvis større nøyaktighet er nødvendig kan vi ta ytterligere vilkår for den uendelige serien.