Beste svaret
La oss begynne med produktregelen.
Eksempel: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Hvordan kom jeg dit? Produktregelen er: Når y = uv, uv er to forskjellige funksjoner multiplisert sammen – i dette tilfellet sinus og cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)
Så i eksemplet ovenfor, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 eller (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Omvendt produktregel er bare det motsatte, som integrasjon er det motsatte / motsatte av differensiering.
Så fra dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) La oss integrere alt! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx
Differensiering av y blir dy / dx, så integrering går tilbake til y. Derfor, y = ∫u dv + ∫v du
Siden vi vet at y = uv (se ovenfor) uv = ∫u dv + ∫v du
Så omorganiserer vi bare ligning som sådan:
∫u dv = uv – duv du Done.
Jeg forstår det ikke fullt ut heller, men dette er så godt jeg kan for å forklare hvordan avled det.
Svar
Her er en måte å tenke på det: ∫udv integreres langs v-aksen. Den beregner arealet under u-kurven mot v.
∫vdu integreres langs u-aksen. Den beregner arealet til venstre for v-kurven, mot u.
Sett de to sammen, og du får et kvadrat: hele området mellom u- og v-aksene. Det totale arealet er produktet av de to: uv. For å oppsummere får du:
∫v du + ∫u dv = uv
Derfra kan du enkelt utlede formelen. Det er også lett å visualisere.
Kilde: Sigma MathNet
Dette er en overforenkling av ideen, som er mer generell enn dette, men dette er en vanlig forklaring (og noen ganger behandlet som et uformelt bevis). For litt mer diskusjon, se Forklar dette beviset uten ord for integrering av deler til meg .