Beste svaret
Det er to måter å fortelle om en matrise (og derved ligningssystemet som matrisen representerer ) har en unik løsning eller ikke.
a. Cramers Method.
Konverter ligningssystemet til matriseform AX = B der A = Koeffisientmatrise, X = Variabelmatrise og B = resultatmatrise.
Nevn koeffisientmatrisen som D. For en 3 x 3 matrise, erstatt 1., 2. og 3. kolonne i D-matrisen med resultatene Kolonnematrise for å få matriser Dx, Dy og Dz.
- Hvis D ikke er lik 0, og hvis minst en av Dx, Dy og Dz ikke er lik 0, så er ligningssystemet konsistent og har en unik løsning.
- Hvis D = 0 og hvis Dx, Dy og Dz = 0, men hvis minst en av bestanddelene i den koeffektive matrisen (aij) eller minst en av de 2 x 2 mindreårige ikke er lik 0, er ligningssystemet konsistent og har uendelig mange løsninger.
- Hvis D = 0 og i det minste en av Dx, Dy og Dz ikke er null, er ligningssystemet inkonsekvent (Ingen løsning).
Dermed gir ligningssystemet en unik løsning bare når verdien av Determinant er ikke lik null.
b. Rangmetode
Skriv ned ligningssystemet i matriseformat AX = B der A = Koeffisienter Matrise, X = Variabelmatrise og B = Resultatmatrise.
Finn ut rangeringen til matrisen A.
Skriv ned den utvidede matrisen [A, B]
Finn ut rangen til den utvidede matrisen [A, B]
- 1. Hvis rangeringen til matrise A ikke er lik rangeringen til den forsterkede matrisen, er ligningssystemet inkonsekvent og har ingen løsning.
- Hvis rangeringen til begge matriser er lik og lik antall ukjente variabler i systemet, og hvis matrisen A ikke er entall, er ligningssystemet konsistent og har en unik løsning.
- Hvis rangeringen til begge matriser er lik, men hvis rangen er mindre enn antall ukjente, da er ligningssystemet konsistent og har uendelig mange løsninger. Så det er bare tre muligheter – inkonsekvent og ingen løsning, i samsvar med unik løsning, i samsvar med uendelig mange løsninger.
Så systemet gir a Unik løsning bare når rangeringen av koeffisientmatrisen = Rangering av den utvidede matrisen = Antall ukjente.
Svar
Teorien forteller deg at Ax = b har en unik løsning hvis \ det (A) \ neq0 og ellers har den ingen løsning eller uendelig mange. Matrisen heter i så fall entall
Øvelse forteller deg imidlertid at dette nesten aldri skjer. Så hvert sett med ligninger kan løses? Ja og nei. Hvis matrisen er nesten enestående, kan du få en løsning, men det vil ikke være meningsfylt. Årsaken er at små svingninger på høyre side kan forårsake enorme svingninger (av flere størrelsesordener) i løsningen. Systemet heter i så fall dårlig betinget . Dette er dårlig fordi i løpet av beregningene kan du miste betydelige sifre på grunn av subtraksjon av nesten like store mengder ..
Hvordan kan du fortelle det? betingelsesnummer \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | er det teoretiske tiltaket. Den beste verdien er 1, jo større er verre. Men det er ikke så lett å beregne. En praktisk måte å gjøre det på er å ta en liten tilfeldig forstyrrelse på høyre side og sammenligne de to løsningene. Hvis de skiller seg betydelig, har du et dårlig betinget system.