Beste svaret
Hvordan løser jeg tan theta = -2?
Vel, for dette begynner vi med å bruke arctan -funksjonen, som er den omvendte av tangens funksjon og finner en verdi \ theta slik at \ tan (\ theta) = -2.
Vi kan beregne verdien, men dette er et kompleks «prosedyre som involverer» imaginære «tall. Dette ser ut som mye trøbbel, så det ville være enklere å bruke et sett med bord, selv om det kanskje var litt mindre nøyaktig. Selv om jeg har et gammelt sett på foreldrenes hems, nytter det meg ikke for øyeblikket, så la oss søke på internett etter noen bord. Vent, hvis jeg har tilgang til internett, hvorfor ikke se om internett kan gjøre beregningen for meg?
Vel, disse tilnærmingene er sannsynligvis mer nøyaktige som vi trenger, men vi holder oss til dem for nå.
Kanskje du ikke liker ideen om negative vinkler? Ikke bekymre deg, det er lett å konvertere disse til positive vinkler ved å legge til 2π radianer / 360 °.
Dermed har vi 5.17603659 radianer / 296.5650512 °
Men vi er ikke ferdige !
Funksjonen arctan returnerer bare vinkler i det eksklusive området (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), dvs. (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Så er det andre vinkler hvis tangens -verdien er -2?
Først er tangens -funksjonen gir en negativ verdi når vinkelen er i andre og fjerde kvadrant, nemlig når vinklene er i de eksklusive områdene (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) og (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Vi har allerede løsningen i fjerde kvadrant, så hva er løsningen i andre kvadrant? Det er øst, bare ta π radianer / 180 ° fra løsningen i fjerde kvadrant.
Hvorfor? Fra sammensetningsvinkelformelen for tangens -funksjonen har vi:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (\ pi) = 0
Dette gir oss vår andre løsning, 2.03444393 radianer / 116.5650512 °
For det andre er tangens -funksjonen periodisk, med en periode på 2π radianer / 360 °; dette betyr at å legge til et hvilket som helst multiplum av 2π radianer / 360 ° til vinkelen vår vil gi den samme tangens -verdien.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (2 \ pi) = 0
Ved å bruke k for å representere et hvilket som helst heltall er vårt komplette løsningssett:
(2.03444393 + k \ pi) \ radianer eller (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Svar
Husk at sec (theta) = 1 / (cos (theta). Så har du
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, som er en kvadratisk ligning i cos (theta). De to røttene til denne ligningen er (3 + – sqrt (5)) / 2 som faktisk er 1 + – phi, der phi er den berømte «Golden Ratio» og er røttene til det kvadratiske x ^ 2 – x – 1.
Siden phi er en rot, viser denne ligningen med phi ^ 2 at den andre roten er -1 / phi. Og siden phi + 1 = phi ^ 2, har vi at røttene til den opprinnelige ligningen din er phi ^ 2 og 1 / phi ^ 2. Siden cosinus må være 1, må vi bruke den mindre roten .
Tenk nå på den eldgamle Fibonacci-serien 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 der (n + 1) term er summen av den nte og (n -1) th termer. Det viser seg at phi og dens konjugerte rot er nært beslektet med denne serien. Måten dette gjelder her er dette:
Hvis den niende Fibonacci-termen er F (n), så er phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Beviset er en induksjon på n, ved å bruke Fibonacci-definisjonen F (n + 1) = F (n) + F (n-1) i det siste trinnet.) Du vil da vise at phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. 6. og 7. F er 5 og 8. Så du har evaluert
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Hvis du multipliserer dette og rasjonaliserer det andre begrepet, får du 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED