Beste svaret
Jeg vil bruke identiteten \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, eller
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Så \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Bruk nå identiteten \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, eller
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Så vi får
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Svar
Denne øvelsen antyder bruk av formler med halv vinkel for å produsere nye uttrykk av lavere grad. Det er vanskelig å se dette uten sammenheng, så merk deg at disse problemene alltid kan løses med halvvinkelformler.
Dermed kan vi dele det opprinnelige uttrykket inn i produktet av to (sin x) ^ 2 termer og fortsette å bruke den andre formelen i bildet jeg la til.
Multipliser og utvid for å få
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Å nei! Det ser ut til at vi ikke er ferdige! Vel, ikke bekymre deg, ta en titt på den første formelen på det tilpassede bildet mitt, og erstatt det kvadratiske uttrykket med uttrykket. Legg merke til at vi starter med en 2x og må doble den til 4x i stedet for nøyaktig det som er skrevet i formelen. Dermed erstatter og gir:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Få deretter en fellesnevner og flytt den ut med 1 / 4, gir en 1/8 på utsiden.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Kombiner like vilkår for vårt endelige svar
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Utmerket spørsmål!