Beste svaret
Ja, det er Monty Hall-problemet i forkledning. Å “bytte” i det problemet er bare en måte å understreke at den ene sannsynligheten er annerledes enn den andre. I det problemet vil du helst ha døren verten kunne ha åpnet, men gjorde det ikke. Her vil du heller være den fangen som oppsynsmannen kunne ha kalt, men ikke gjorde det. Samme ting.
A er feil. Han tror at han bare lærte informasjon om B, og ingenting om A eller C. Men han lærte noe om C: Fogden kunne ha kalt ham, men gjorde ikke t. 50\% av tiden der A ville ha blitt benådet, ville oppsynsmannen ha kalt C. Men han ville gi B 100\% av tiden der C ville blitt benådet. Dette forholdet – 50\% til 100\% – er det som gjør det nå dobbelt så sannsynlig at C vil bli benådet.
Historisk side: Problemet du siterte var opprinnelig utgitt i oktober (tror jeg) 1959-utgaven av Scientific American av Martin Gardner. I samme utgave beklaget han at han fikk feil svar på dette spørsmålet:
- Mr. Smith har to barn. Minst en av dem er en gutt. Hva er sannsynligheten for at begge barna er gutter?
Han hadde opprinnelig sagt at svaret var 1/3. Men spørsmålet som presentert er tvetydig; det kommer an på hvordan du lærte at minst ett barn var en gutt.
Hvis det var fordi du spurte «Er minst ett gutt? ”, så er 1/3 riktig. Men hvis det bare var et tilfeldig faktum du lærte, noe som betyr at du også kunne ha lært «minst en er en jente», så er svaret 1/2.
Og faktisk er Two Child Problem bare en variant av Three Prisoners Problem med fire fanger i stedet for tre, eller Monty Hall Problem med fire dører. Gardner stilte de tre fanger for å avklare hvordan disse problemene fungerer, og inkluderte delen om myntklippen spesielt for å vise hvordan det er prosessen der du innhentet informasjonen, ikke informasjonen alene, som avgjør svaret.
Svar
Problemet med de tre fangene kan forstås lettere hvis vi holder oss til betingede sannsynligheter snarere enn posterior sannsynlighet.
Så tre fanger A, B, C er på dødsrad og en av dem er benådet basert på et sjansespill. Fange A ber oppsynsmannen i det minste avsløre navnet på en av de andre fangene, som ikke er benådet.
Ved å stille dette spørsmålet har A opprettet to grupper.
- Gruppe I – involverer A alene.
- Gruppe II – involverer B og C.
Tilsvarende disse to gruppene er det to hendelser:
- Noen fra gruppe I er benådet. (A alene).
- Noen fra gruppe II er benådet (B eller C).
Siden begge disse hendelsene er ikke-sannsynlige, sannsynligheten for begge hendelsene er \ frac {1} {2}. Innenfor den andre gruppen er sannsynligheten for at B eller C blir valgt igjen \ frac {1} {2}.
Vakthavende kaller nå B som fangen som ikke er benådet.
Siden vakthavende ikke har sagt noe om fange C, betyr dette at sannsynligheten for at den andre hendelsen (noen blir benådet fra gruppen som involverer B og C) fortsatt er den samme – \ frac {1} {2}.
Men siden B er eliminert, betyr dette at sannsynligheten for at C blir benådet fra gruppe II, nå har økt fra \ frac {1} {2} til 1 !!! Det er hans sjanse for å få benådning, er doblet !!!
På den annen side, av samme resonnement, siden oppsynsmannen ikke har sagt noe om fange A, sannsynligheten for den første hendelsen (noen blir benådet den første gruppen) er fortsatt den samme – \ frac {1} {2}.
Så fangen As spørsmål gir ikke A noen ny informasjon om hans skjebne. På den annen side vet fange C (som A har gitt denne informasjonen) nå at sjansene hans for å få tilgivelse er doblet.
Dette er alt du trenger å vite for å forstå essensen av de tre fanger. Problem. Hvis du imidlertid vil bekrefte intuisjonen din ved hjelp av Bayes ’formel. Du kan gjøre det som vist nedenfor:
Bayes Formulation of the Three Prisoners Problem
La A, B og C være hendelsene som tilsvarer at fanger A, B og C blir frigjort henholdsvis.Og la b være hendelsen at oppsynsmannen forteller A at fangen B skal henrettes, og ved å bruke Bayes-teorem er den bakre sannsynligheten for at A blir benådet: \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Sannsynligheten for C å bli benådet, derimot, er:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Dermed forblir den bakre sannsynligheten for at A blir benådet den samme som apriori-sannsynligheten (\ frac {1} {3}), mens C for benådning dobles.
Du kan se effekten av de betingede sannsynlighetene på de bakre sannsynlighetene i begrepet P (b | A) (\ frac {1} {2}) og P (C | b) (1).