Hvordan vil du løse sin (x) = x ^ 2?


Beste svaret

Slik kommer jeg til å komme med en omtrentlig løsning:

Verdien av x må være i intervallet [-1,1] som utenfor det intervallet x ^ 2> 1 som er utenfor området \ sin {x}. Det kan begrenses videre til intervallet [0,1] som når -1 \ le x , \ sin {x} <0 mens x ^ 2> 0. Innenfor intervallet [0,1] eksisterer en triviell løsning for x = 0.

For x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } mens x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Siden det for mye større x tydeligvis er x ^ 2> \ sin {x}, må det eksistere minst en løsning i intervallet (0,1]. Videre har \ sin {x} på dette intervallet et negativt andre derivat, mens x ^ 2 har et positivt andre derivat, så det er høyst en løsning i intervallet (0,1]. Når kurven på x ^ 2 overhaler den for \ sin {x}, kan den ikke krysse tilbake igjen.

Så det er nøyaktig en løsning i (0,1]. For å estimere løsningen, bruk de to første begrepene i Taylor-serien for sinusfunksjonen for å få x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Dette reduseres til x ^ 2 + 6x-6 = 0 eller x = \ sqrt {15} -3 som den omtrentlige løsningen. Til seks desimaler, \ sqrt {15} -3 \ ca 0,872983.

Til sammenligning gir en numerisk tilnærming løsningen til seks desimaler som x = 0,876726. Så vår tilnærming med bare to termer i Taylor-serien var ganske nær, men ikke perfekt.

Svar

For et spørsmål som dette er det vanligvis en god ide å tegne graf for funksjonene for å få en ide om hvordan de oppfører seg. Ume vil du ha svar på reelt tall.

Vi kan legge 2x til begge sider og deretter dele med 2 for å få x = 1,3 \ sin (x). Sinusfunksjonen er avgrenset mellom -1 og 1, så vi trenger bare å være opptatt av verdier på x mellom -1,3 og 1,3. Grafen y = x er bare en rett linje. Grafen y = 1.3 \ sin (x) skråner oppover mellom -1,3 og 1,3, fordi 1,3 er mindre enn rett vinkel, og sinus øker fra – \ pi / 2 til \ pi / 2.

Hvis du kjenner noe kalkulator, vet du at hastigheten 1.3 \ sin (x) øker er gitt av 1.3 \ cos (x). Denne endringshastigheten øker og avtar deretter igjen (som kalles et bøyepunkt). Grafen til y = 1.3 \ sin (x) er konkav opp fra -1.3 til 0 og deretter konkav opp fra 0 til 1.3. Det er relativt enkelt å få øye på at x = 0 er en løsning. Fordi hellingen på y = 1.3 \ sin (x) er større enn hellingen på y = x på det punktet, krysser den nedenfra og oppover der. Nå bestemte jeg meg for at jeg skulle finne ut verdien av 1.3 \ sin (1.3). Husk selvfølgelig at sinusfunksjonen gjelder vinkler gitt i radianer. Det er mindre enn 1,3.

På dette punktet kan du utlede situasjonen. De to funksjonene krysser hverandre tre ganger fra -1,3 til 1,3. Kall den positive løsningen c. På grunn av symmetri (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) er den negative løsningen -c. Konkaviteten på 1.3 \ sin (x) holder det fra å være noen andre løsninger. Så alt som er igjen er å finne ut hva c er.

Det som noen studenter synes er rart, er at det ofte ikke er noen «lukket form» for løsningen på en ligning som denne. Vi kan fortelle at det er en løsning mellom 0 og 1.3, men jeg tror i dette tilfellet at vi ikke har en formel for det når det gjelder kjente funksjoner. Så hvis du vil takle det, må du bestemme hva du trenger å vite om det.

Hvis du vil beregne det med en viss nøyaktighet, er det noen få metoder. Det er en naiv tilnærming som fungerer i dette tilfellet. Hvis du tar en verdi på x mellom 0 og 1.3, hvis den er mindre enn løsningen, er 1.3 \ sin (x) større, og hvis den er større enn løsningen, er 1.3 \ sin (x) mindre. Så hvis du fortsetter å erstatte verdien på x med 1.3 \ sin (x), nærmer den seg roten. Så si at jeg begynner med x = 1.0. Deretter er 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … så bruk det som verdien på x neste. Denne prosessen konvergerer på løsningen, men ikke veldig raskt fordi hvert trinn bare bringer verdien noe nærmere løsningen.

En andre metode er å dele opp intervallet. Så vi kan prøve å evaluere 1.3 \ sin (1.1) og 1.3 \ sin (1.2) for å få den første desimalen av løsningen. Siden 1.3 \ sin (1.1) <1.1 mens 1.3 \ sin (1.2)> 1.2 ser det ut til at roten er mellom 1.1 og 1.2. Deretter kan vi prøve 1.3 \ sin (1.15) for å se om løsningen er mindre eller større enn 1,15. Denne metoden konvergerer heller ikke så raskt, selv om den fungerer bra i noen situasjoner der den første metoden ikke gjør det.

Det er noen andre metoder ( Root- finne algoritme – Wikipedia ) spesielt secant-metoden og Newtons metode. De konvergerer raskere.

Secant-metoden holder to tilnærminger på hver side, for eksempel 1.1 og 1.2. Så later vi som at grafene er begge rette linjer for å få en omtrentlig løsning. Beregningen er ikke like enkel, men ikke egentlig involvert.

Newtons iterasjon har at du trekker en tangentlinje til kurven for å tilnærme seg hvor de to kurvene krysser, og deretter gjenta. Hvis du begynner med en verdi nær roten, konvergerer den vanligvis ganske raskt.Antallet nøyaktighetssifre fordobles vanligvis for hvert trinn (selv om det virker usannsynlig at noen vil ha mange presisjonssifre til roten).

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *