Beste svaret
Uttrykket i det postede spørsmålet er ikke helt riktig.
Binomialsetningen
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
holder for alle komplekse tall x og y og ikke-negative heltall n .
La x = 1 og y = -1. Så på høyre side vil du ha dine ønskede vekslende forskjeller og kombinasjoner (det du refererte til som velg s). På venstre side har du 0 ^ n, som du tilsynelatende antar å være 0. Binomialsetningen gjelder, som nevnt ovenfor, for alle ikke-negative heltal n , som inkluderer 0, i hvilket tilfelle venstre side er 0 ^ 0 = 1 – et tilfelle du ikke tillot.
Hvis du ikke tror meg, kan du prøve denne trivielle øvelsen: Skriv ut de første radene i Pascals trekant. Formelen «velg» i det postede spørsmålet tilsvarer å velge hvilken som helst rad, og start elementet til venstre (som alltid er 1, uansett hvilken rad du velger), og trekk deretter neste element til høyre og fortsett alternerende å legge til og trekke fra alle elementene i den raden. Legg merke til at med raden som inneholder 1 1 og raden som inneholder 1 2 1 og raden som inneholder 1 3 3 1, gir alle 0 med denne prosessen. Men hva skjer på øverste rad som bare inneholder 1? Vi begynner med den 1 og forbereder oss på å trekke neste element, men det er ikke neste element, så vi er allerede ferdige med resultatet 1, ikke 0. Det er ikke noe behov for å ekskludere den øverste raden fra konseptet om at de alternerende forskjellene og summer gir 0 ^ n for alle radene.
Hvis du er en av dem som har en hangout om 0 ^ 0 = 1, trenger du virkelig å komme over den hangupen, i det minste i sammenheng av heltallseksponenter. Hvis du betrakter 0 ^ 0 som udefinert, kaster du like godt binomialsetningen og beviset ovenfor, fordi du ikke kunne bruke binomialsetningen til å evaluere (0 + y) ^ {n} og (x + 0) ^ { n}, uavhengig av verdien av n , fordi den siste termen i den binomiale utvidelsen for den tidligere makten og den første termen i den binomiale utvidelsen for den sistnevnte begge involverer 0 ^ 0, så du må kalle den summen udefinert og legge til den ellers helt unødvendige og dumme utelukkelsen at binomialsetningen ikke gjelder x = 0 og for y = 0. Du vil også være i strid med tomproduktregelen, som indikerer at produktet av ingen faktorer må være det multiplikative identitetselementet , 1. Forholdet 0! = 1 er også viktig for binomialsetningen, så vel som mange andre steder — men med 0! man multipliserer ingen faktorer som starter ved 1, så det er et tomt produkt, og det er til slutt tomproduktregelen som forteller oss at 0! = 1. Den samme tomme-produktregelen forteller oss at x ^ 0 = 1 for alle komplekse tall x , og verdien av x er ikke bekymret for tomproduktregelen, så ja, x = 0 gjelder like godt som alle andre verdier av x – ingen unntakstilfeller berettiget på noen måte.
Det er mange andre grunner til å betrakte 0 ^ 0 = 1 i det minste i sammenheng med heltallseksponenter: den formelle definisjonen av polynomer og maktserier ved bruk av ∑-notasjon og manipulering av slike polynomier og kraftserier, forskjellige kombinatoriske problemer og andre. Det er ingen lydmessig begrunnelse for at 0 ^ 0 har noen annen verdi enn 1 eller å betrakte den som udefinert, i det minste i sammenheng med heltallseksponenter.
Noen av dere kan bli litt bekymret over jeg skriver slik fordi det bryter med alt du har blitt lært – kanskje så mye nød at du har vanskelig for å til og med tenke på den mulige gyldigheten av det jeg har skrevet, og du er i ferd med å skrive en svarkommentar for å fortelle meg hvor jeg tar feil. For å forhindre at du ser dum ut med feilaktige kommentarer, vil jeg gå videre og ta opp det jeg forventer ville komme:
- “Læreboka mi og læreren min sa at 0 ^ 0 er udefinert, og de kunne ikke ta feil. ” Jeg hater å måtte fortelle deg det og få boblen til å sprekke angående lærerne og lærebøkene dine, men det er mange emner i lærebøker i matematikk (og andre fag) i videregående skole som er forenklet til det punktet at de er feil. Kommentarene mine her er ikke ment som en nedlasting av matematikklærerne på ungdomsskolen – de har en utfordrende oppgave, og de fleste vil virkelig gjøre en god jobb og hjelpe studentene å komme videre.De fleste matematikklærere på ungdomsskolen deltok ikke i matematikk i universitetsstudiene – mest hovedfag i utdanning med spesialisering i matematikk. De lærer om hvordan forskjellige studenter tenker, hvordan man kan forklare forskjellige punkter på en rekke måter, hvordan man finner og diagnostiserer problemer studentene har med materiale, og andre svært verdifulle ting som ikke er direkte relatert til matematikk. De tilbringer tid i hånlige klasserom, så vel som ekte klasserom under veiledning av den faktiske læreren, for å få øvelse. De får mye grundig gjennomgang av matematikken de forventer undervisning, noe som betyr på ungdomsskolenivå. De vil ta noen få matematikkurs på universitetsnivå i programmet sitt, men ikke i nærheten av så mange eller så avanserte som hva en matematikkfag ville ta. Matematikkfag gjør ikke noe av det, men i sine mer avanserte kurs får de mer eksponering for det som virkelige, levende, profesjonelle matematikere gjør, og de fleste matematikklærere får ikke den eksponeringen – de skjønner ikke hvordan matematikere faktisk definerer ting som naturlige tall og hele tall, begrenset eksponering for matematikere som bruker radianer i stedet for grader for vinkelmålinger (og mangelen på enhetssymbol for vinkler innebærer radianer, ikke grader), uten å ha det i bløt i hva profesjonelle matematikere anser som den aktuelle rekkefølgen av operasjoner (og nei , det er ikke PEMDAS, BODMAS, …), etc. Dine matematikklærere lærer hva boken sier å undervise, og de er ikke klar over at de lærer deg ting som er i strid med det profesjonelle matematikere gjør. Delingslover for eksponenter: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, som er udefinert, så 0 ^ 0 må være udefinert siden de er like. Et ugyldig trinn er utført på den andre =. En av delingslovene for eksponenter er b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, men den har noen begrensninger for å kunne brukes. En av dem er at lovanvendelse ikke på noe tidspunkt må generere et uttrykk som innebærer en gjensidighet på 0 eller en divisjon med 0. Derfor er bruk av denne loven forbudt når b = 0, fordi det genererer tull – og det er tullet du vil bruke til å «bevise» poenget ditt. Beklager, men for å bevise et poeng, kan du ikke bruke noe som er så mye tull at det er ugyldig. Ugyldige trinn utgjør et mislykket bevis. Også å skrive ting som a = b = c der c er udefinert er ugyldig— a og b er kanskje ikke gyldig. Ligninger må ikke brukes når minst en av sidene er udefinert eller på annen måte ugyldig. Det er forbudt å konkludere med at 1/0 = 1/0, fordi begge sider er udefinerte, så du kan ikke si at de er like – hvordan kan du vite at to ting er like når du ikke engang aner hva disse to tingene er mener (og du kan ikke ha noen anelse fordi de ikke har noen definisjon).
- «0 ^ 0 er en ubestemt form, så den kan ikke ha noen verdi – min kalkulatorbok sier det.» Konseptet med ubestemte former er veldig reelt og nyttig så lenge du holder det til den tiltenkte konteksten. Ubestemte skjemaer gjelder bare i sammenheng med grenser – at du ikke kan se på det skjemaet og bestemme om det finnes en grense, og hvis den gjør det, hva den begrensende verdien er. Å skrive 0 ^ 0 refererer til hva som er verdien av f (x, y) = x ^ y at (x, y) = (0, 0) – ikke hva er grensen da x og y nærmer seg 0 uavhengig. Det kan være en grense, men funksjonen er ikke definert der; en funksjon kan være definert der, men grensen eksisterer ikke. De to begrepene har ingenting å gjøre med hverandre, annet enn når det ene eller begge (definere verdi og begrensningsverdi) mislykkes, er ikke funksjonen kontinuerlig på det tidspunktet. Å si at en grense tar form 0 ^ 0 betyr at du ikke kan fortelle fra den informasjonen alene om grensen eksisterer og hvilken verdi den har. Det faktum har ingenting å gjøre med om 0 ^ 0 = 1 eller er udefinert. Å si 0 ^ 0 = 1 sier ikke at en grense som tar form 0 ^ 0 må ha verdi 1.
- 0 ^ y = 0 for alle positive y og x ^ 0 = 1 for alle ikke-null x . (Mange som bruker dette argumentet glemmer at y ikke må være negativt og behandler de to sakene som symmetrisk.) Hvis du erstatter 0 for begge x og y , i det ene tilfellet 0 ^ 0 = 0 og det andre tilfellet 0 ^ 0 = 1 — en motsetning , så det kan ikke defineres. Vel, la oss se. Det er to tall med kvadratet er 9: +3 og −3; således er kvadratroten på 9 +3, men kvadratroten på 9 er −3. Å, vi har en motsetning, så det må ikke være noe som heter kvadratroten på 9 – den må være udefinert.Nei, +3 er et mer nyttig svar enn −3, så vi definerer √9 = 3. Det faktum at x ^ 0 = 1 for ikke bare alle reelle x men også for alle ikke-nul-komplekse x og til og med alle ikke-nul-quaternions x ; derimot, 0 ^ y fungerer på en enkel måte bare for positive virkelige x – ikke negative realer, ikke imaginære, så det gir ikke mer mening å gå med definisjonen som bare har ett hull i stedet for å vurdere seriøst et alternativ som har et utallig antall hull ? Resultatet av 1 er langt, langt, langt mer nyttig enn 0 for 0 ^ 0. Hvis vi er villige til å kalle kvadratroten på 9 for å være +3 når det er langt mindre grunn til preferanse, hvor mye mer å kalle 0 ^ 0 = 1, når det er veldig sterk grunn til preferanse. Tom-produktregelen foreskriver valg av 1 og ikke 0. Mange praktiske anvendelser synes 1 er et ekstremt nyttig resultat, mens 0 eller udefinert vil være problematiske resultater. Ingen meningsfylt applikasjon har 0 som et nyttig resultat, så vi velger 1.
Svar
\ text {I henhold til binomial teorem}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Erstatter a = 1 og x med – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ innebærer 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}