Hvorfor er [matematikk] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ matematikk] sant?


Beste svaret

Definisjonen av spore som summen av diagonale oppføringer i en matrise er lett å lære og lett å forstå. Det har imidlertid ikke (a priori) noen fine geometriske eller andre tolkninger — det ser bare ut som et beregningsverktøy. Å angripe det fra dette perspektivet betyr i utgangspunktet at du sitter fast med beregningsbevis for fakta som tr (AB) = tr (BA).

De er ikke «t dårlig , per se. De er enkle å forstå, og absolutt hva som skal vises når noen i utgangspunktet lærer lineær algebra. Det er en dypere grunn til at tr (AB) = tr (BA), men det er ganske abstrakt og krever spesielt tensorproduktet for å forstå.

Tenk på rommet til lineære operatorer fra vektorer plass V tilbake til seg selv. Hvis vi velger et bestemt sett med koordinater, vil slike operatorer se ut som firkantede matriser. Vi skal imidlertid sikte på å unngå koordinater så mye som mulig.

Vi betegner med V ^ * det doble rommet til V, som rommet for lineære funksjoner på V — det vil si lineære kart \ lambda slik at hvis vi kobler til en vektor v, \ lambda (v) er en skalar.

Hvis vi da tar tensorproduktet V ^ * \ otimes V, er det isomorf til rommet til lineære operatorer V \ rightarrow V. Isomorfismen fungerer slik: hvis w \ i V, så (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Vi kan også finne ut hvordan komposisjon fungerer under denne isomorfismen– – husk at sammensetningen av lineære kart er akkurat det samme som å multiplisere de tilsvarende matriser.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

derav

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Nå, hvordan gjør spor kommer inn? Vel, det er et naturlig kart fra V ^ * \ otimes V til skalarfeltet som fungerer slik: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Den fantastiske tingen er at hvis du trener alt i koordinater, er dette sporet.

Dette viser at sporet, langt fra å være noe abstrakt beregningsverktøy, faktisk er et grunnleggende og naturlig kart i lineær algebra . Spesielt gir analysen ovenfor automatisk et bevis på at tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Men hvorfor er den sterkere utsagnet tr (AB) = tr ( BA) sant? Vel, la oss beregne dem begge.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ høyre) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

På den annen side:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , slik at AB tilsvarer sammenkobling \ lambda\_1, \ lambda\_2 og v\_1, v\_2 på en måte, og BA tilsvarer å parre dem på den andre måten, men når vi tar spor, blir de paret igjen , og på det punktet slutter det å være noen forskjell.

Vakker.

Svar

Beviset på \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) er en enkel beregning:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Jeg er ikke sikker på om dette svarer på hvorfor-delen av spørsmålet, i betydningen «Ja, Jeg ser at beregningen ordner seg, men hvorfor ? «.

Det er ikke ofte mulig å forklare «hvorfor» noe er sant. Her er det kanskje nyttig å observere at AB og BA faktisk deler mye mer enn sporet: de har samme karakteristiske polynom .

En annen nyttig observasjon er at hvis A eller B ikke er entall (inverterbar) så er AB og BA like matriser, rett og slett fordi

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Lignende matriser har tydeligvis de samme egenverdiene, så spesielt har de samme spor. Vi kan argumentere med kontinuitet (over felt der dette gir mening) for å konkludere med at det samme gjelder selv i entall.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *