Beste svaret
På grunn av definisjonene av \ sin x, \ cos x og \ tan x.
I en rett trekant med spiss vinkel x har vi definert trig-forholdene som følger:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {motsatt}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {tilstøtende}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {motsatt }} {\ text {tilstøtende}}
Fra dette får vi akronymet SOH-CAH-TOA
Uansett, hvis vi tar uttrykket for \ tan x og deler teller og nevner av \ text {hypotenuse} får vi:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {motsatt} / \ text {hypotenuse}} {\ text {tilstøtende} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Svar
La oss starte med et bilde (kreditt: Høyre trekant – fra Wolfram MathWorld )
Vi vil fokusere på den venstre, men den høyre to er veldig viktig i trigonometri.
Jeg vil bruke con vention at vinkelen motsatt side a er \ alpha og vinkelen motsatt siden b er \ beta.
Tilbakekall: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
La oss nå dele sinus med cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Vi kan gjøre det samme med \ beta. Generelt kan vi gjøre det samme trikset med hvilken som helst riktig trekant, så det må være en egen egenskap for de trigonometriske funksjonene. Vi vet hva sinus og cosinus er på grunn av hvordan vi definerte dem, som de spesielle forholdene.