Beste svaret
Per definisjon er det 360 grader i en fullstendig rotasjon; således er 45 grader halvparten av halvparten av en hel rotasjon, det vil si 1/8 av en fullstendig rotasjon.
Ta en firkant og trekk linjer fra midten til hjørnene og til midtpunktene på hver side. Dette setter åtte like vinkler rundt sentrum; Disse vinklene er altså 45 grader.
Vi kan også se at vi får riktige trekanter for hver av disse, hvor begge bena til disse høyre trekantene i hvert tilfelle er like (halvparten så store som en side av firkanten). Dermed er tangenten (i betydningen motsatt ben / tilstøtende ben) på 45 grader 1.
Svar
“ Hva er tan (45)? ”
Hvis x er et ikke-null rasjonelt nummer, da tan x er irrasjonell (bevist av Lambert, 1761). Jeg vet ikke om noe bevis er utviklet enn tan x må være transcendentalt, selv om det har vært et slikt bevis for sinus og cosinus.)
Nå er 45 et ikke-null rasjonelt tall, så tan 45 må være irrasjonell.
Den enkleste formen for eksakt uttrykk for denne verdien er tan 45. Du kan ikke uttrykke det enklere og få uttrykket til å representere nøyaktig tan 45.
Hvis du er interessert i en numerisk tilnærming for å få en god følelse av størrelsen og tegnet på tallet, har: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
For de som feilaktig hevder i sine svar enn tan 45 = 1, har du krenket setningen jeg refererte til først. Du har brutt teoremet ved å komme med en slik uttalelse, og fordi setninger krever bevis på korrektheten, betyr ethvert brudd på en teorem at noe er gjort feil. I dette tilfellet antar feilen at tan 45 betyr tan 45 °. Hvis du vil ha tangenten (av sinus, cosinus, cotangent, secant eller cosecant av en vinkel som er et visst antall grader, og du vil bruke det tallet, så er det obligatorisk at du bruker ° -symbolet eller multipliserer tallet med π / 180. Argumentet for tangensfunksjonen trenger ikke ha noe å gjøre med vinkler – det kan være hvilket som helst reelt tall (bortsett fra der det genereres singulariteter slik som π / 2) med vilkårlig betydning. Nå tilsvarer vinkler faktisk reelle tall – dette gjelder ikke lengder, tidsvarigheter osv., men vinkler har denne spesielle karakteristikken. Vinkler er faktisk dimensjonsløse størrelser, noe som betyr at de kan uttrykkes som bare tall. Nå finnes forskjellige enhetsnavn for vinkler, fordi det ofte er praktisk å referere enkelt til forskjellige størrelser av vinkler. Hvert vinkelenhetsnavn (halvcirkel, radian, grad, buesminutt, buesekund osv.) tilsvarer et tall verdi. Det viser seg at hvis du har en sirkel med radius 3 m og en bue av den sirkelen med lengde 6 m, den nedsatte vinkelen er (6 m) / (3 m) = 2 (bemerker at meter i teller og nevner avbryter hverandre for å gi bare et tall ), men 2 av hva. Definisjonen av en radian er den vinkelen slik at buelengden og sirkelradiusen er like, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Dermed er rad = 1/1 = 1. Fordi rad = 1, er vi kan skrive 2 rad = 2 × 1 = 2, så den eksplisitte skrivingen av rad for å uttrykke verdien av en vinkel er valgfri. Noen ganger er det veldig nyttig å unngå tvetydighet (for eksempel å skille en vinkelfrekvens på 1 rad / s versus en syklisk frekvens på 1 [syklus] / s = 1 Hz), og vi vil insistere på å inkludere rad for klar kommunikasjon selv om den er nominelt valgfritt; i andre tilfeller er det ingen tvetydighet, og det er helt greit å la radien være.
Nå, 180 ° = π rad, to forskjellige uttrykk som refererer til vinkelen til en halvcirkelbue. Hvis vi deler gjennom sidene av ligningen med 180, ser vi: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, siden rad = 1. Med andre ord er graden også bare et tall, men verdien er ikke 1; Derfor kan vi ikke gyldig skrive 45 ° = 45 og bare slippe ° -symbolet. Fordi ° representerer tallet π / 180, betyr det 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, som betyr at når du bruker betydningen av °, ender du opp med et annet tall — et tall som tilsvarer tallet av radianer, så du konverterer implisitt fra grader til radianer. Hvis du bare skriver 45, er det lik 45 × 1 = 45 rad, og kan ikke bety 45 °. Hvis du ikke forstår vinkler og deres numeriske verdier på denne måten, ville vi ikke være i stand til å gjøre ting som derivatet av synd x med hensyn til x er cos x ; uttrykket ville trenge å være ganske rotete – uønsket rotete. For mange motsetninger og andre rare ting skjer hvis du prøver å oppføre deg som om vinkelenhetsgraden har numerisk verdi 1 slik at du fritt kan inkludere den eller unngå den.
Dessverre oppfører de mest brukte lærebøkene i geometri på videregående skoler seg alle og lærer elevene å være upassende late – ikke gidder å skrive måleenhetene når de er grader. Denne feilen blir vanligvis korrigert i mer avanserte algebra- eller trigonometri-lærebøker, der ° alltid skrives når grader er ment, og når enheter blir sluttet, er radianer alltid ment, noe som samsvarer med standard praksis av profesjonelle matematikere og fysikere. Jeg vet ikke hvorfor geometri-lærebøkene insisterer på å ta en uakseptabel snarvei i strid med vanlig profesjonell praksis, fordi lærerne og studentene blir frustrerte i senere kurs når de må lære henholdsvis å lære at ° -symbolet er nødvendig.