Beste svaret
1. Røtter av tall.
På barneskolen ble vi informert om at kvadratroten til et tall faktisk er et spørsmål. Hva tallet multiplisert med seg selv, så mange ganger for å få et tall, er roten. F.eks. kvadratrot på 9 = 3, siden 3 × 3 = 9 fjerde rot på 16 = 2, siden 2 × 2 × 2 × 2 = 16 og så videre. Røttenes natur er imidlertid mer grunnleggende ettersom applikasjonen utvidet tallsystemet fra det rasjonelle til det virkelige. Med andre ord, for å bruke driften av å finne røtter var det nødvendig å utvide tallsystemet slik at det ble lukket under operasjon av «rooting» ved å introdusere de irrasjonelle tallene. De rasjonelle tallene er lukket for +, -, ×, ÷ men ikke for√. F.eks. kan √2 ikke uttrykkes som et forhold. Pythagoreerne visste dette og skulle ha prøvd å supperess det, da det ikke kvadrat, ha, ha, med deres verdensbilde.
2. Røtter av ligninger
Naturen som vi ble fortalt var når kurven skjærer x-akse. Dette kan forekomme en, to, tre ganger avhengig av polynomet. Det ble utarbeidet regler for å beregne dem som vi alle lærte. Så ble spørsmålet stilt. Hva skjer hvis kurven ikke kutter x-aksen? Så har vi åpenbart en imaginær rot, og dette skjedde da b ^ 2-4ac . Dette krevde at en annen utvidelse til tallsystemet var nødvendig. Så ble det komplekse tallsystemet oppfunnet for å inkludere røtter med negative tall. Så «røttene» har vært å utvide tallsystemet utover de rasjonelle tallene.
Svar
Jeg forestiller meg at du mener «naturlig» i betydningen «naturlig isomorfisme.» Hvis noe er “naturlig” eller “kanonisk”, betyr det omtrent at det ikke er resultatet av noe vilkårlig valg. Det bestemmes naturlig av konteksten.
Et av de motiverende eksemplene på en «naturlig» ting er isomorfismen mellom et endelig dimensjonalt vektorrom V og dets doble doble V ^ {\ vee \ vee}. Isomorfismen tar v \ i V til E\_v \ i V ^ {\ vee \ vee}, der E\_v (\ phi) = \ phi (v) for \ phi \ i V ^ \ vee. Du sender vektoren v til kartet E\_v som evaluerer doble vektorer ved v. Dette er naturlig; det ble ikke tatt vilkårlige valg, det falt bare direkte ut av definisjonene og forholdet til de involverte objektene.
Det er annen isomorfisme mellom disse to rommene, eller selvfølgelig, men dette er «det riktige valget.» Ethvert annet valg ville være unaturlig; for eksempel kan du sende v til E\_ {A (v)}, hvor A: V \ til V er en vilkårlig lineær automatisering av V. Men … hvorfor? Det er ingen grunn til at du i det hele tatt må introdusere A, siden du har det naturlige valget v \ mapsto E\_v rett foran deg. Forhåpentligvis er forskjellen mellom «naturlig» og «unaturlig» isomorfisme tydelig nok.
På den annen side er det ingen naturlig isomorfisme L: V \ til V ^ \ vee. Å konstruere en isomorfisme krever vilkårlige valg. Jeg kunne velge en basis b\_1, \ prikker, b\_n og erklære L (b\_i) for å være den doble vektoren som tar b\_i til 1 og alle de andre basisvektorene til 0. Dette definerer en helt fin isomorfisme, men jeg kunne gjort akkurat det samme ting med noe annet grunnlag og få en annen, like gyldig isomorfisme. Det er ingen måte å velge en på en naturlig, gud gitt * måte.
Dette er veldig grov, uformell beskrivelse. Det kan (og blir) presist etter kategoriteori: funksjonere og naturlige transformasjoner gir den rette måten å tenke på hva som gjør noe “naturlig” i en eller annen sammenheng. Jeg har gjort mitt beste for å formidle min egen intuisjon for konseptet, som jeg tror vil være tilstrekkelig til man er klar for (cate) blodige detaljer.
* matematikkens teologi / ontologi til tross for