Beste svaret
Bare når θ = 0.
Det er geometrisk åpenbart at for alle θ mellom 0 og π / 2, 2sinθ er lengden på akkorden til en bue med radianmål 2θ i en sirkel med radius 1. Og siden akkorden er kortere enn buen, må vi ha sinθ <θ for alle slike θ. Og selvfølgelig, hvis θ> 1, så sinθ . Til slutt innebærer sinθ <θ for alle positive θ sinθ> θ for alle negative θ.
Selv om θ måles i grader, kan sinθ ikke være lik θ med mindre θ = 0, ganske enkelt fordi radians mål på en bue av θ grader er πθ / 180, som er mye mindre enn θ.
Svar
Jeg tror det bedre spørsmålet er, \ cos \ theta er lik 2?
Du vet sikkert at det ikke kan hvis \ theta er vinkelen til en trekant i plangeometri, fordi hypotenusen til en høyre trekant er lengre enn lengder på bena, og tilstøtende ben kan ikke være dobbelt så lang som hypotenusen. Tilsvarende hvis \ theta er noe reelt tall, fordi \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Således, hvis \ theta \ i \ mathbb R, så -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, kan derfor \ cos \ theta ikke være 2.
Vi hevder imidlertid at hvis z \ in \ mathbb C, det er mulig for \ cos z = 2. Faktisk er den komplekse analytiske definisjonen av cosinus \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, og derfor ender vi med en kvadratisk ligning, som forhåpentligvis de fleste av oss er vant til .
Vi ønsker å løse \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Tar w = e ^ {iz}, blir dette \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, eller tilsvarende, w ^ 2-4w + 1 = 0. Vi bruker deretter den kvadratiske formelen:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Siden w = e ^ {iz}, kan vi da ta den naturlige loggen, men vi må være forsiktig : akkurat som a ^ 2 = b ^ 2 ikke innebærer a = b (det innebærer bare a = \ pm b), e ^ a = e ^ b ikke innebærer a = b, det bare innebærer a = b + 2 \ pi ik for noe k \ i \ mathbb Z. Derfor,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Da multipliserer vi ganske enkelt med -i for å få verdien av z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Vi kan til slutt skrive om løsningen vår, og merke oss at 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, og dermed \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Oppførselen til \ cos z som en kompleks analytisk funksjon etterligner den trigonometriske funksjonen i den virkelige retningen og den hyperbolske cosinus i den imaginære retningen; faktisk vet du kanskje at \ cos (iz) = \ cosh z og \ sin (iz) = i \ sinh z; og å kombinere disse fakta med cosinus sumformelen innebærer \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, med x, y \ i \ mathbb R. Dette gir en alternativ måte å finne ut svar. Philip Lloyd har et flott diagram om dette: Philip Lloyds svar på Hvorfor kan ikke cos teta være lik 2?