Beste svaret
Vi kan representere et hvilket som helst positivt heltall n i basen ti-notasjonen som n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, hvor a\_i \ i \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} og a\_k \ neq 0. Deretter n \ geq 10 ^ k. Summen av sifrene er a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Denne ulikheten følger av a\_i \ leq 9. Det er nå lett å se at hvis k \ geq 2 så er 18 (k + 1) 0 ^ k. Nå sitter vi igjen med elementene n = 10a\_1 + a\_0. Disse kan enkelt kontrolleres med en datamaskin. Slik gjorde jeg det med Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Dermed er det eneste positive heltallet som er dobbelt så mange som sifrene 18. Hvis vi tillater ikke-negative heltall, har vi også 0. Jeg er ikke helt sikker på hvordan dette spørsmålet skal tolkes for negative heltall.
Svar
Tallet N er produktet av de første 100 positive heltallene. Hvis alle sifrene i N ble skrevet ut, hvilket siffer ville være ved siden av alle nullene på slutten?
I utgangspunktet ser vi etter 100! og så vil vi forkaste alle nuller til slutt, så vil vi vite hva det første ikke-null-tallet til høyre er.
En måte er å faktisk beregne 100! ved å bruke et program som bc (benkekalkulator på Linux eller Unix) og deretter kaste alle nuller for å komme til ønsket siffer.
La oss se på en annen måte å løse problemet på ved å dele og erobre prinsippet.
La oss forkaste alle tall som slutter med 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 fordi når du multipliserer, vil ikke det siste sifferet i forrige multiplum (produktet ankom til det punktet) endres og vi er ikke interessert i beregner 100! sans nuller uansett.
La oss se på første 9 tall som begynner på 2 og de er:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Fra venstre til høyre gir 2 * 3 deg 6, 6 * 4 gir deg 24, bare behold 4 og multipliser den med 5 for å gi deg 20 (siden vi vil forkaste null), behold nå 2 og multipliser den med 6 for å gi deg 12, behol igjen bare 2 og multipliser den med 7 for å gi deg 4 (av 14) og multipliser den med 8 for å gi deg 2 (forkaste 3 av 32) og multipliser den med 9 for å gi deg 8 ( forkaste 1 av 18) og multiplisere den med 10 gir deg 8 (kassering 0 eller 80). Dermed får du et enkelt siffer som er 8 .
Fungerer på samme måte på 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 gir deg 8 igjen.
Neste serie 22, 23…, 28, 29, 30 gir deg 2.
Neste serie gir deg 4
Hvis du fortsetter på samme måte på den gjenværende serien, vil du få 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 og 2 henholdsvis.
Nå, den siste jobben er å multiplisere sifrene som ovenfor vi har kommet til for hver av seriene.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 og når du multipliserer disse sifre og forkaste det tiende sifferet underveis, kommer vi til 4 som siste siffer.
Dette er Det endelige svaret på spørsmålet, 4 er det nødvendige tallet.