Melhor resposta
Visto que a elipse é um círculo comprimido, poderíamos considerar um círculo equivalente. Isso seria apenas uma aproximação e não o valor exato do perímetro da elipse.
Sabemos que a equação de uma elipse é:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Quando a = b = r isso se torna a equação de um círculo. Então, eu poderia escrever a equação do raio equivalente do círculo em termos de a e b.
Em vez de tomar a média de a e b, obteríamos uma melhor aproximação por obtendo a raiz quadrada média de a e b.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Portanto, o perímetro aproximado da elipse seria:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Existem aproximações muito melhores por aí, mas acho que isso seria o suficiente.
Espero que tenha ajudado.
Resposta
Vamos tentar se podemos encontrar a circunferência de uma elipse.
Uma elipse com o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b têm a equação:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Um gráfico (“teremos que nos contentar com tinta aqui, meu software de matemática precisa de uma renovação de licença):
Para encontrar a circunferência, precisamos expressar parte dessa circunferência \ text {d} s como uma função de \ text {d} x, \ text {d} y e esperamos chegar em alguma expressão utilizável.
Se assumirmos que podemos aproximar \ text {d} s por uma linha reta, podemos aplicar Pitágoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Presumo que sempre pegamos \ text {d} x> 0, ou nos movemos da esquerda para ao longo do eixo principal.
Tudo o que resta é o anúncio d essas pequenas contribuições de comprimento de arco. Podemos considerar x \ in [0, a] e multiplicar por 4 porque nossa elipse é simétrica no eixo x, y.
Encontramos:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Se encontrarmos uma maneira (legal) de expressar:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
estamos no negócio.
No entanto, já temos a expressão (1), que se relaciona com y a x. Na hora de calcular (3), usarei a diferenciação implícita:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Precisamos ser capazes de escrever usando apenas x. Usaremos (1) novamente:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Substitua (5) por (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Substitua em (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Existem algumas opções para reescrever esta integral. Uma opção seria definir x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z e chegaria a:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Um método diferente seria usar uma parametrização da elipse da seguinte forma:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
E isso leva a uma integral elíptica de segundo tipo, que é mais ou menos a abordagem padrão:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
com
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
a excentricidade da elipse.
Comparando as expressões (6,7) e (8), vemos que se pode preferir (8) a (6, 7). A última expressão não é apenas mais simples em seu parâmetro e, mas se comporta bem. Na expressão (6,7), ainda temos um problema quando x \ para a, z \ para 1.
No entanto, não há expressão de forma fechada para o resultado. Para um círculo, temos e = 0 e (8) reduz-se bem a 2 \ pi a, como deveria. O mesmo é verdadeiro para (6,7).