Melhor resposta
Originalmente respondida: Qual é uma boa estimativa da raiz cúbica de 4?
A enésima raiz de N é uma raiz de x ^ nN = 0. A derivada de x ^ nN é nx ^ {n-1}, então dada uma estimativa inicial, x, da raiz, uma estimativa mais próxima usando o método de Newton é
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
que é a média de ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 destes}} \ text {e} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Esta média ponderada faz sentido quando você percebe que tanto x quanto \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} são estimativas da enésima raiz de N, que estão “desligados” em direções opostas , e que x é uma estimativa n-1 vezes melhor do que \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Agora, vamos aplicar o método …
Seja N = 4. Seja x sua estimativa da raiz cúbica de 4. Comece com uma boa estimativa, como x = 2. Em seguida, calcule
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ para obter uma estimativa melhor.
Neste caso,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1,666666667…
Em seguida, repita usando x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ approx 1,5911111 …
Esta aproximação é boa para cerca de 3 dígitos significativos, então vamos fazer isso mais uma vez,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ approx 1.58740969614163 …
Isso é bom para cerca de 6 dígitos significativos. Com cada iteração, o número de dígitos corretos aproximadamente dobra.
Resposta
Dependendo de quanto você sabe em matemática, existem 2 maneiras possíveis-
- Use logaritmos
- Use métodos iterativos (método bissecção, método Newton-Raphson etc.)
Logaritmos- Pegue x = 2 ^ {1/3}
Então, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (aprox)
portanto, x = antilog (0,100343) = 1,2599 (aprox)
Métodos iterativos- Vou mostrar com o método de bissecção, você pode tentar outros se quiser. (O processo é quase o mesmo.)
Seja x = 2 ^ {1/3}
Então, x ^ 3 – 2 = 0
Seja f (x) = x ^ 3 – 2
Escolhemos dois valores tais que um dá f (x) <0 e o outro dá f (x)> 0
Vemos que f (x) <0 para x = 1 e f (x)> 0 para x = 2. Portanto, x1 = 1, x2 = 2
Agora, consideramos a média desses valores como novos x
Portanto, novo x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Vemos que 1,5 e 2 fornecem valores> 0, então descartamos 2, pois dá o valor de f (x) mais longe de 0. Nós apenas mantemos os valores de x que dão o valor de f (x) mais perto de 0
Então, tomamos x1 = 1 e x2 = 1,5
novamente encontramos novo x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Agora nós descartar 1 como 1,25 fornece o valor de f (x) mais próximo de 0
então pegamos x1 = 1,25 e x2 = 1,5
Novamente encontramos novo x como a média desses 2 valores, substitua em f (x) para ver seu sinal e, dependendo disso, pegamos nossos novos valores x1 e x2.
Repita esse processo até que esteja satisfeito com sua resposta (x final).
P.S. Esses processos nunca darão uma resposta exata, você precisa parar em algum aproximado.