Melhor resposta
@Ujjayanta Bhaumik deu uma boa solução que dá uma ideia em qual intervalo o pecado 40 realmente se encontra, mas se você quiser para calcular seu valor aproximado mentalmente, aqui está a solução.
Use esta fórmula
F (a + h) = F (a) + hF` (a) …… … . (A)
Aqui h é um valor muito pequeno.
Presumo que o ângulo seja dado em graus.
Se qualquer ângulo x estiver em graus, então é igual a ( x × π / 180) unidade em radianos.
Em questão (a + h) = 40π / 180
(a + h) = (37 × π / 180 + 3π / 180).
a = 37 × π / 180
h = 3π / 180.
Também F` (x) = cos x
F` (a) = cos 37 × π / 180 = 4/5 = 0,8
F (a) = sen 37 × π / 180 = 3/5 = 0,6
Colocando esses valores em (A)
sin (40 graus)
= F (40 graus)
= F (37 graus) + 3degree)
= F (37 × π / 180 + 3π / 180)
= F (37 × π / 180) + 3π / 180F` (37π / 180)
= sin (37 × π / 180) + 3π / 180 × cos 37 × π / 180
= 0,6 + (3π / 180) × 0,8
sin (40 graus) = 0,641 (aproximadamente)
Resposta
Pergunta muito interessante! Uma pergunta semelhante é: como a calculadora calcula o valor de sen, cos, etc.? Ou você pode perguntar o que as pessoas faziam antes de a calculadora ser inventada, ou seja, antes de ca. 1970? Todas essas perguntas são muito semelhantes e as respostas estão intimamente relacionadas.
Mas suponho que você esteja perguntando qual seria um método prático hoje para calcular o pecado, o cos, etc., caso você não tenha acesso a quaisquer dispositivos eletrônicos.
As respostas dadas são todas boas. Veja, é realmente um grande saco de truques diferentes. Depende de quão precisa você deseja sua resposta. Portanto, você deve primeiro aceitar que, faça o que fizer, você obterá apenas um resultado aproximado. Você pode obter qualquer precisão desejada, mas um resultado mais preciso exigirá mais cálculos. Cada cálculo “melhora” a precisão do resultado anterior – por assim dizer.
Se você quiser saber mais sobre essa questão, todo o assunto se enquadra em Análise numérica . O método geral é aproximar a função, por exemplo, sin (x), por algum polinômio. Normalmente é possível encontrar um polinômio cujos valores de função são muito próximos aos de sin (x), desde que x seja muito próximo de 0.
Olhando especificamente para a função sin (x), temos algumas opções adicionais. Por exemplo, podemos usar a propriedade especial que: \ sin (x + y) = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) Claro, isso só funciona para \ sin (x). Mas para, por exemplo, \ ln (x) temos algo semelhante: \ ln (x \ cdot y) = \ ln (x) + \ ln (y) Essas relações especiais podem ser usadas de várias maneiras engenhosas para adicionar ao saco de truques.
Para outro método não mencionado nas outras respostas, alguns computadores hoje usam o método CORDIC .