Melhor resposta
A2A.
O valor de tan40 ° não pode ser encontrado usando a soma trigonométrica padrão, diferenças ou fórmulas de ângulo submúltiplo. No entanto, se você se sentir confortável resolvendo equações cúbicas, este método pode ser útil—
Nós sabemos,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Substituindo x como 40 ° nesta equação—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Escrevendo tan40 ° como y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° é um valor padrão e é igual a – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Ao resolver esta equação, três valores são obtidos a partir dos quais o valor positivo produz tan 40 °.
Portanto, aproximadamente, tan 40 ° = 0,8394.
Resposta
Qual é o valor de \ tan 40 ^ o?
Podemos encontrar o valor de \ tan 40 ^ o a qualquer nível desejado de precisão usando a série de Taylor de \ tan x.
A série de Taylor de uma função de valor real ou complexa f (x) que é infinitamente diferenciável em um ponto real ou complexo a é dada por ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Isso pode ser escrito de forma compacta como f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad onde f ^ {(n)} (a) denota a derivada n ^ {th} de f (x) em x = a.
Pode-se notar que no caso de funções trigonométricas, o ângulo teria que ser expresso em radianos e não em graus.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ direita) = \ tan \ esquerda (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ direita) = \ tan \ esquerda (\ frac {2 \ pi} {9} \ direita).
Tomando x = \ frac {2 \ pi} {9} e a = \ frac {\ pi} {4}, temos (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Em a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x é infinitamente diferenciável.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” (a) = f “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ direita) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ approx 0,83892575.
O valor de \ tan (40 ^ o) como fornecido pelo Excel é 0,83909963.
Pode-se ver que mesmo com apenas 4 termos desta série infinita, o erro é de apenas 0,0272 \\%.
Se a maior precisão for necessário, podemos usar outros termos da série infinita.