Melhor resposta
Posso entender que você queira uma resposta aqui. Tradicionalmente, uma dobra é o valor de uma coisa; logo, um aumento de uma vez é de 100\%. No entanto, isso produz confusão, pois a maioria das pessoas considera um interesse duplo como o dobro do valor (200\%) de uma coisa – a definição popular. Até o Dicionário de Matemática de Collins, define “-dobra” como significando “tempos”, como em “duas vezes” é igual a “duas vezes”, que é igual a duplo. Alguns cientistas usam “dobrar” para ser sinônimo do termo matemático “ vezes, “como em“ três vezes maior ”significa“ três vezes maior ”. No entanto, outros insistem em usar “dobra” tradicionalmente para descrever o valor total de uma coisa; assim, “60 é uma vez maior que 30.”
Tenho certeza de que isso não torna mais fácil para você decidir – a versão popular sobre o uso mais tradicional – mas para evitar interpretações erradas, no uso diário você pode querer ficar com a definição popular.
Resposta
Pergunta interessante. Vamos analisá-la.
- Por que os determinantes são calculados ?
Francamente, não há uma única razão na terra para você calcular um determinante, exceto quando ele é solicitado em um teste de álgebra linear. Determinantes são usados na prova de existência de uma solução a um conjunto de equações lineares da forma Ax = b em que os determinantes desempenham um papel importante. Regra de Cramer – Wikipedia
Este levou muitas almas equivocadas à conclusão de que esta regra é uma boa maneira de calcular a referida solução. Não é. Deixe-me explicar por quê.
2. Por que os determinantes são calculados da maneira como são calculados
A primeira coisa que você aprende na álgebra linear 101 é expandir um determinante ao longo de uma linha ou coluna, que pode ser formulada recursivamente como
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
em que A\_ {kj } é a submatriz que você obtém descartando a k-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Isso está OK se sua matriz for 3 \ vezes3 ou 4 \ vezes 4, torna-se tedioso quando n = 5 e pode ser desfeito para qualquer n maior . Mas temos computadores, não temos? Tudo certo. Vamos fazer isso cientificamente e fazer uma contagem de operação. Seja T\_n o número de operações para calcular um determinante n \ vezes n desta maneira. Em um contexto de álgebra linear, “operação” é uma multiplicação seguida por uma adição. Então, claramente
T\_n = nT\_ {n-1}
Ei! Isso não soa um sino? Sim, esta é a função docente e T\_n = n !. Agora, se tivéssemos um computador que pode fazer 10 ^ {20} operações por segundo, o que poderia acontecer se os computadores quânticos se tornassem operacionais e tivéssemos que calcular um determinante 100×100 por expansão de linha ou coluna, precisaríamos
100! = 9.3326E157
operações. E 100 \ times100 não é excessivo, as aplicações industriais costumam chegar à casa dos milhões. Agora, um ano tem 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 segundos, então não podemos fazer mais do que 3,2E27 operações por ano, o que é apenas uma gota no oceano de 9,3E157. Mais especificamente, precisaríamos de 3E130 anos e, em vista do fato de que a idade estimada do universo é de 13,8E9 (6E3 se você for um criacionista) anos, faltam alguns anos.
Conclusão: esta não é uma boa maneira de calcular um determinante.
E para calcular uma solução pela regra de Cramer, você precisaria calcular 101 determinantes. A regra de Cramer não vale nada! É teórico, não prático.
É por isso que você deve usar uma decomposição LU ( Decomposição LU – Wikipedia ) para calcular um determinante e como um benefício adicional também fornece a solução para o seu sistema Ax = b. A contagem de operações para LU é \ frac13n ^ 3. Para obter um determinante disso, você multiplica todos os elementos diagonais de U. (\ cal O (n)). Para obter a solução do seu sistema, Ax = b requer outras n ^ 2 operações. Portanto, tudo isso exigiria 3,34E5 operações e estaríamos prontos em um instante de 10 ^ {- 14} segundos.
Sheldon Axler escreveu um texto de Álgebra Linear que não usa nenhum determinante https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
e tenho certeza que Alon Amit (“matrizes são uma porcaria, regra dos operadores”) aprovaria.