Melhor resposta
Como encontramos o centróide de um semicírculo inclinado?
O centróide de um corpo não muda se mudarmos sua posição.
Assim, para encontrar o centróide do semicírculo inclinado de raio r, devemos, por conveniência, girá-lo para a posição mostrada abaixo.
Por simetria, é claro que o centróide se encontra no raio perpendicular à base do semicírculo.
Considere um infinitesimalmente pequena tira horizontal de corante espesso, a uma distância y da base, como mostrado na figura.
O comprimento da tira é 2x.
O momento de todas essas tiras de o semicírculo sobre a base dividido pela área do semicírculo nos daríamos a distância do centroide da base.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limits\_0 ^ r 2xy \, dy.
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos x = \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limits\_0 ^ r 2y \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2} \, dy = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [\ frac {2} {3} \ left (r ^ 2-y ^ 2 \ right) ^ {3/2} \ right] \_0 ^ r
\ qquad \ qquad = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [- \ frac {2r ^ 3} {3} \ right] = \ frac {4r} {3 \ pi}.
Então, se considerarmos que a base do semicírculo de raio r está no eixo X com o centro da base na origem, as coordenadas do centróide são \ left (0, \ frac {4r} {3 \ pi} \ right).
Não importa a orientação do semicírculo , a posição relativa do centróide permanece a mesma.
Resposta
Para encontrar o centróide de forma semicircular , você precisa saber o raio (r) e, em seguida, as coordenadas xey do centróide podem ser encontradas conforme mostrado abaixo: Você percebeu que a coordenada x do centróide é zero? Isso ocorre porque o sistema de coordenadas é colocado no centro do semicírculo .
Ashutosh