Melhor resposta
Ao ver as outras respostas já postadas, não estou nada satisfeito com sua completude. … E, como um tutor de matemática experiente, sinto-me obrigado a dar uma resposta completa.
A fórmula cos (2x) que você indicou é uma das três identidades de ângulo duplo para cosseno. Resolver esta equação para sin (x / 2) resulta na identidade do meio-ângulo para seno.
Observe que onde Eu marquei *. Uma das regras menos conhecidas de trigonometria indica que você pode dividir de forma equivalente todos os argumentos da função trigonométrica pela mesma constante em ambos os lados de uma equação. Na verdade, você pode dividir qualquer constante. mas isso nem sempre pode ser útil. Tente resolver a equação acima para sin (x / 3) e, em seguida, use-a para encontrar o pecado (pi / 12). Funciona perfeitamente.
Agora, para realmente usar a fórmula sin (x / 2), você tem que manipular a equação dada usando uma fração complexa equivalente, conforme mostrado aqui:
Claro, isso é demonstrado na primeira foto acima. Além de conhecer / derivar a identidade do meio-ângulo, o maior desafio é aplicá-la.
Resposta
I. Vamos usar uma abordagem de resolução de problemas conhecida como equivalência .
Com esta abordagem, escolhemos um objeto vantajoso ou um conjunto de objetos e olhamos para eles de ângulos diferentes … com a esperança de que possamos derivar um relacionamento frutífero no processo.
Um desses objetos ou noção poderia ser área quadrada .
Começamos com um triângulo retângulo cujo comprimento da hipotenusa é uma unidade, escolhemos um ângulo x e marcamos os comprimentos dos lados do triângulo como \ cos x, que concordamos em tratar como altura e \ sin x, que concordamos em tratar como base do triângulo:
Então consideramos que é um fato comprovado que a área quadrada de um triângulo é o produto dividido pela metade de sua base e acima da altura:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
A próxima etapa é bastante desafiador porque no vácuo não sabemos exatamente o que nos espera do outro lado de 2 \ sin x \ cos x. Do ponto de vista dos descobridores, estamos olhando para o abismo do desconhecido. Então, chame isso de intuição, um pensamento feliz ou apenas um nariz, mas raciocinamos assim:
ok, nós encontramos uma maneira de anexar uma noção concreta (uma área quadrada) a uma outra forma abstrata e, vamos encarar , uma expressão um tanto misteriosa, mas – não exatamente, já que ainda devemos trabalhar o fator de 2 ali.
Como podemos fazer isso?
Bem, que tal juntar os dois triângulos idênticos juntos?
Então a altura, ou o \ cos x em nosso jargão, permanece o mesmo, mas ganhamos soldando as duas bases idênticas, \ sin x em nosso jargão, em uma:
Observe que seguimos / interpretamos pedantemente sua expressão.
Agora é a hora de equivalência para se erguer e ser contado. A nova forma composta ainda é um triângulo e sua área quadrada ainda é:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
mas temos o direito de olhar para a mesma forma de forma diferente: se tratarmos o lado de comprimento 1 como base, então a perpendicular a ele, mostrada em vermelho, é a altura. Mas o ângulo no vértice superior é 2x. Portanto, a nova altura por definição é:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Portanto, a mesma área quadrada do mesmo triângulo pode ser renderizado como:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Mas ( 2 ) e ( 4 ) representam a mesma magnitude. Portanto:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
de onde descobrimos que:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Para um tratamento semelhante, mas mais letrado, comece com o mesmo triângulo acima e dobre o comprimento de seu lado \ sin x construindo um círculo \ sigma com o centro em B e o raio BA:
Mas agora AC intersecta \ sigma em E (desde que x 5 ^ {\ circ}) e pelo Teorema de Thale ou pelo B3P31 de Euclides (o ângulo em um semicírculo é direito) o ângulo em E é direito:
e como os triângulos retângulos ABC e AED compartilham um ângulo comum \ theta, segue-se que \ ângulo ADE = xe de \ triângulo AED para ED temos:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Mas do triângulo retângulo CED para ED temos:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
e, portanto:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(você pode pensar que esta é uma equivalência mais estreita, pois usamos o comprimento de um segmento de linha para preencher a lacuna entre as duas peças)
III. Com toda probabilidade, esta versão pode parecer muito avançada, mas irei mostrá-la de qualquer maneira e por duas razões. Uma razão é demonstrar que em matemática não apenas existem muitas maneiras diferentes de obter o mesmo resultado, mas algumas dessas maneiras podem parecer surpreendentes. O outro motivo – você terá algo para aprender com ansiedade.
Em algum momento de sua educação matemática, você poderá encontrar esses objetos chamados números complexos . Com esses números, nossas duas funções trigonométricas podem ser registradas como segue (devido a um grande matemático suíço Leonard Euler (1707-1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
onde e é Número de Euler e i tem esta propriedade peculiar de i ^ 2 = -1, mas ignore tudo isso por um momento e sem rodeios multiplique as duas frações acima de acordo com as regras da álgebra do ensino médio:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
de acordo com ( 5 ).