Melhor resposta
Comece observando que pecado 35 ° é próximo a sin 30 ° = 1/2. Portanto, sabemos imediatamente que é cerca de 1/2. Isso está cerca de 7\% do valor real.
Vamos tentar obter uma estimativa melhor. Pela identidade de adição de ângulo,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Agora, como 5 ° = π / 36 é um ângulo relativamente pequeno, podemos usar as aproximações sin x ≈ x e cos x ≈ 1. Então
sen 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Agora π ≈ 22/7 e (√3 / 2) ≈ 7/4 porque 49/16 ≈ 3. Então, obtemos
pecado 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Isso difere de o valor verdadeiro em menos de 1\%.
Outra abordagem é calculá-lo usando os primeiros dois termos na expansão da série de Taylor de sin x . A precisão é melhor que 0,1\%, mas é mais difícil de calcular manualmente do que 83/144.
Resposta
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Agora Sin (3x), da fórmula geral, é igual a 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, portanto, colocando x = 10 graus, o que dá Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 e, portanto,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 ou, manipulando esta equação e colocando Sin (10) = y, obtemos
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Resolva esta cúbica usando um método iterativo numérico como o método de Newton-Raphson, manualmente, para obter, após um slog:
y = 0,17364817766693 = Sin 10)… (2)
Obviamente, você pode ir para menos números, dependendo da precisão necessária.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Coloque os valores de Cos (10) e Sin (10) em (1) acima para obter:
Sin (35) = 0,57357643639 conforme solicitado.