Melhor resposta
Um número complexo é um número de duas partes. Tem uma parte real e uma parte imaginária. Tendemos a escrevê-lo na forma,
a + bi, onde i é a raiz quadrada de um negativo, ou seja, (-1) ^ (1/2)
Enquanto isso , o quadrado de um número é o número vezes ele mesmo. Isso significa que
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Encontramos algo semelhante a isso quando consideramos fatores de equações quadráticas. Há uma abordagem sistemática para expandir o produto de dois fatores de duas partes. Você deve ter encontrado o acrônimo “FOIL”:
- Multiplique os dois F primeiros termos
- Multiplique os dois O termos uter
- Multiplique os dois I termos mais
- Multiplique os dois L termos ast
Some os quatro termos para a resposta
Aplique a mesma abordagem FOIL , com (a + bi) * (a + bi), obtendo
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Podemos reorganizar um pouco. Os dois termos do meio são iguais, então podemos listá-los uma vez, mas multiplicados por dois.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
E agora, vamos olhe para o último termo e perceba que o quadrado de um produto pode ser escrito como o produto dos quadrados separados. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Vamos aplicar essa regra:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Mas “i” é a raiz quadrada de -1. O quadrado da raiz quadrada de um número é o próprio número. Portanto, (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Vamos conectar isso.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Esse último termo ainda é feio. Podemos comutar o “vezes negativo um) para o outro lado e reescrever todo o termo como uma subtração.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Mas olhando para o expressão, não seguimos o formato de uma parte real seguida de uma parte imaginária. Temos uma parte real, uma parte imaginária e outra parte real. Vamos reagrupar as partes reais.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Resposta
Primeiro, pense em um número complexo, a + bi como um par ordenado (a, b ) No PLANO COMPLEXO com um EIXO REAL horizontal onde o eixo x normalmente está e um EIXO IMAGINÁRIO vertical onde o eixo y normalmente é você representa graficamente o ponto (a, b) da maneira normal. Agora, a distância da origem ao ponto (a, b), eu acho que é chamada de MÓDULO de número complexo, vamos chamá-lo de r.
Sabemos que r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) pelo teorema PITAGOREANO. (Desculpe pela notação, mas estou limitado por isso.)
Além disso, o ângulo entre o eixo real positivo e a linha da origem até (a, b) chamaremos Theta (vamos usar T para isso). (É chamado de ARGUMENTO do número complexo)
Agora. O número complexo a + bi pode ser escrito na FORMA POLAR como
a + bi = r (Cos T + iSin T) uma vez que
a = r CosT e. b = r Sin T
Para tirar a raiz quadrada de a + bi, use a forma polar.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Então, para fazer isso simples, basta olhar para o gráfico do número complexo a + bi, com uma linha da origem até (a, b). Agora gire a linha na metade do caminho de volta para o eixo xe encurte-a até a raiz quadrada, desde que era. A coordenada desse ponto final é a raiz quadrada do número complexo. O outro a raiz quadrada está a apenas 180 graus daqui.
Para provar isso, vamos tirar a raiz quadrada de Z = -4
O gráfico é um ponto no eixo real negativo , 4 unidades à esquerda da origem. O ângulo T = 180 graus.
para obter a raiz quadrada de -4, apenas gire a linha de volta para 90 graus (metade de 180) e encurte seu comprimento para 2 a raiz quadrada de 4. Concluímos 2 unidades no eixo imaginário. ASSIM, uma raiz quadrada de -4 é 2i. E a outra raiz quadrada é -2i, a 180 graus de distância.
Em símbolos:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
e 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Para obter a raiz quadrada de (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radical 2 sobre 2 + (i) radical 2 sobre 2.